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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 164

Determine os ângulos de direção coordenados α , β , γ da força F em relação a O seja zero.

Passo 1

Falaaa!

O problema está pedindo os ângulos de direção dessa força para que ela cause um momento nulo em O .

Esses ângulos são dados pelas fórmulinhas:

cos ⁡ α = F x F

cos ⁡ β = F y F

cos ⁡ γ = F z F

Se liga na fórmulinha de momento:

M → = r → × F →

É um produto vetorial, certo? Aí te dou um bizu: cara, o produto vetorial se anula se os vetores forem paralelos, ou seja, tem a mesma direção.

Então, daí, a gente tira que F → tem a mesma direção de r → . Aí para achar F → nessa direção, usamos a fórmulinha

F → = F r → r →

Assim a gente acha a forma vetorial da força, e acha os ângulos diretores pela fórmulinha deles. Bora lá achar r → !

Passo 2

Aquele r → da fórmulinha do vetor é o vetor que sai do ponto em relação ao qual queremos o momento, o O , e o ponto de aplicação da nossa força. Como O = 0,0 , 0 , o vetor r → vai ter as componentes numericamente iguais a coordenada do ponto onde a força é aplicada.

Vamos achar o vetor

r → = 150,350,250 = 150 i + 350 j + 250 k

Aí a gente joga ele na fórmulinha de montar a força na forma vetorial, sendo F = 100   N

F → = F r → r →

F → = 100 150 i + 350 j + 250 k 150 2 + 350 2 + 250 2

F → = 100 ( 0,329 ; 0,768 ; 0,549 )

Daí a gente tira que

F x = 100 0,329

F y = 100 0,768

F z = 100 0,549

Passo 3

Agora é usar as fórmulinhas para achar os ângulos diretores:

cos ⁡ α = F x F → α = arccos ⁡ F x F

cos ⁡ β = F y F → β = arccos ⁡ F y F

cos ⁡ γ = F z F → γ = arccos ⁡ F z F

Substituindo nossos dados

α = arccos ⁡ 100 0,329 100 = 70,791 °

β = arccos ⁡ 100 0,768 100 = 39,825 °

γ = arccos ⁡ 100 0,549 100 = 56,702 °

Resposta

α = 70,791 °

β = 39,825 °

γ = 56,702 °

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