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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 19

Determine, para a figura da questão 5.11, a maior razão r 2 r 1   tal que y - = 3 r 1 4 .

Passo 1

Fala aí galera, vamos pra mais um problema de estática. O primeiro passo é determinar a coordenada y do centroide da seção. Logo:

y - s e m i   c i r c   m a i o r = 4 r 2 3 π × π × r 2 ² 2 = 2 r 2 3 3

y - s e m i   c i r c   m e n o r = 4 r 1 3 π × π × r 1 ² 2 = 2 r 1 3 3

Logo, o centroide da figura será:

y - = 2 3 r 2 3 - r 1 3 π 2 ( r 2 2 - r 1 2 ) = 4 r 2 3 - r 1 3 3 π ( r 2 2 - r 1 2 )

Sabemos que:

a 3 - b 3 = a - b a 2 + b a + b 2

a 2 - b 2 = a - b ( a + b )

Logo, fatorando e simplificando:

y - = 4 r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2 3 π r 2 + r 1

Passo 2

Agora, temos que utilizar o dado que o enunciado nos deu. Portanto:

y - = 4 r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2 3 π r 2 + r 1 = 3 r 1 4

0,565 r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2 = ( r 1 2 + r 1 r 2 )

- 0,435 r 1 2 - 0,435 r 1 r 2 + 0,565 r 2 2 = 0

Podemos tratar como uma equação de segundo grau, onde:

a = 0,565

b = - 0,435 r 1

c = - 0,435 r 1 2

Logo:

∆ = 0,189 r 1 2 - 4 × 0,565 × - 0,435 r 1 2 = 1,1721 r 1 2

r 2 = 0,435 r 1 ± 1,08 r 1 1,13

Logo, como o problema quer a maior razão, pegaremos o maior valor:

r 2 = 1,515 1,13 r 1 = 1,34 r 1

Logo:

r 2 r 1 = 1,34

Resposta

r 2 r 1 = 1,34

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