Se a energia potencial para um sistema conservativo com um grau de liberdade é expressa pela relação V = 4 x 3 - x 2 - 3 x + 10     J , onde x é dado em metros, determine as posições de equilíbrio e investigue a estabilidade

Passo 1

Dada a expressão para a energia potencial V = 4 x 3 - x 2 - 3 x + 10     J , então a posição de equilíbrio é dada pela primeira derivada:

d V d x = 0 12 x 2 - 2 x - 3 = 0 x = - 2 ± - 2 2 - 4 × 12 × - 3 2 × 12   x 1 = 0,59 m x 2 = - 0,42   m

Passo 2

Agora analisaremos a estabilidade. Para a estabilidade, precisamos tomar a segunda derivada:

Para x = 0,59   m :

d 2 V d x 2 = 24 x - 2 d 2 V d x 2 = 24 × 0,59 - 2 = 12,16 > 0 ⇒ e s t á v e l

Para x = - 0,42   m :

d 2 V d x 2 = 24 x - 2 d 2 V d x 2 = 24 × - 0,42 - 2 = > - 12,08 ⇒ i n s t á v e l

Resposta

Estável para x = 0,59 e instável para x = - 0,42

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