Determine a área A da superfície curva A B C D do sólido de revolução mostrado.

Passo 1

A área de uma superfície de revolução em torno de um eixo é dada por:

A = 2 π r - L

Onde L é o comprimento da linha que é revolucionada e r - é o “raio médio”, ou seja, a coordenada x do centroide da linha (se considerarmos a linha desenhada no plano x y e que vai girar em torno de z ). Nossa figura que é revolucionada é um quarto de circunferência, que tem a distância do centro de massa (horizontal e vertical) até o centro conhecida e igual a

2 a π

Como temos só um quarto da revolução inteira, então na verdade nossa fórmula fica:

A = 2 π r - L 4 = π r - L 2

Passo 2

Primeiro vamos calcular o comprimento do arco:

L = 2 π a 4 = π a 2

Agora vamos achar r - , olhando o desenho:

r - = 2 a - 2 a π = 2 π a π - 2 a π = 2 a π - 1 π

Passo 3

Então calculamos a área:

A = π r - L 2 = π 2 × 2 a π - 1 π × π a 2 = π π - 1 a 2 2

Resposta

π π - 1 a 2 2

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