Determine a coordenada y do centroide da área plana mostrada. Coloque h = 0 em seu resultado e compare-o com o resultado para área semicircular (veja o Exemplo 5/3 e a Tabela D/3). Avalie também o resultado para as condições e .

Mas antes vamos escolher um elemento de área, para assim podermos integrar, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de área vamos integrar ele em relação a y, assim temos a nossa área. Note que, o nosso elemento de área é um retângulo. Portanto:

Observe também, que a função que descreve a curva superior é de uma circunferência. Logo,

Isolando x, temos:

Desse modo, o elemento de área é dado por:

Sendo que,

Atente para o limite de integração, que varia de h a ao raio a.

Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira a área é dada por:

Agora basta resolvermos essa integral que teremos a área, dessa maneira, por substituição trigonométrica teremos:

Substituindo,

Ante de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada y, vamos resolver a integral:

Depois é só dividir pela área que teremos o ponto. Portanto:

Por substituição simples,

Pronto! Só substituir na equação, se tiver alguma dificuldade na resolução das integrais recomendo que revise o assunto de substituição trigonométrica em integrais em cálculo que encontra na própria plataforma. Agora vamos substituir:

Vamos para os casos especiais que o problema pede.

Para h = 0:

O resultado está correto.

Para :

Para :