Determine a coordenada z do centroide do volume obtido pela revolução da área triangular sombreada de 360° em torno do eixo z.

Mas antes vamos escolher um elemento de volume, para assim podermos integrar, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de volume vamos integrar ele em relação ao raio e temos o nosso volume. Note que, quando a revolução a parte mais externa é uma circunferência de comprimento sendo o raio variando. Sendo que se multiplicarmos pela altura z teremos o volume.

Agora precisamos encontrar a função que descreve a reta, assim podemos achar também os limites de integração. Se substituirmos os valores em uma equação linear teremos:

Dessa maneira o limite é dado de 0 a . Só substituir o ponto na equação linear.

Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira o comprimento é dado por:

Agora basta resolvermos essa integral que teremos o volume, sendo assim:

Ante de aplicar a equação para achar o centro de massa na coordenada z, vamos resolver a integral:

Depois é só dividir pela área que teremos o ponto. Cuidado! O ponto fica no meio em relação a z. Portanto:

Logo,

Pronto! Só substituir na equação, se tiver alguma dificuldade na resolução das integrais recomendo que revise o assunto de integrais em cálculo que encontra na própria plataforma. Agora vamos substituir: