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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 28

5.28. Determine the x- and y-coordinates of the centroid of the shaded area.

Passo 1

Vamos lá, queremos descobrir o centro de massa no eixo y , e para isso vamos usar a equação

y - = ∫ y c d A A

Primeiro vamos descobrir o elemento de área d A .

Então

d A = y 2 - y 1 d x

E como temos um retângulo aqui podemos dizer que

y c = y 2 - y 1 2

Passo 2

Agora pra prosseguir com a questão nós temos que deduzir a equação de y 1 e y 2 . Olha só, a função y 1 é uma reta, então é do tipo:

y = A + B x

Para descobrir A , basta fazermos x = 0 , na figura vai ser quando a parábola está no eixo y , então

A = b 2

Agora para descobrir B vamos usar um ponto da função, podemos usar y = 0 , e x = a , que é um ponto que conhecemos

0 = b 2 + B a

Então

B = - b 2 a  

Então nossa equação fica

y 1 = A + B x

y 1 = b 2 - b 2 a x

Agora vamos deduzir y 2 , essa á uma função de uma elipse, do tipo

y 2 2 = A - B x 2

Vamos usar o mesmo raciocínio, fazemos x = 0 e descobrimos A

b 2 = A

E agora para descobrir B vamos usar o ponto y = 0 e x = a .

0 = b 2 - B a 2

Então

B = b 2 a 2

Logo

B = b 2 a 2

Então nossa equação fica

y 2 2 = A - B x 2

y 2 2 = b 2 - b 2 a 2 x 2

Ou então

y 2 = b 1 - x 2 a 2

Passo 3

Agora vai ser simples calcular a área da figura, basta fazer

A = A y 2 - A y 1

Vamos calcular primeiro A y 2 , para essa não vamos precisar fazer nenhum calculo avançado, podemos usar resultados prontos, olha só, essa função descreve um quarto de uma elipse, então

A y 2 = 1 4 A e l i p s e

E a área da elipse é π a b , então

A y 2 = 1 4 π a b

Agora vamos calcular A y 1 , que é um triângulo, então o calculo da área também vai ser simples:

A y 1 = b 2 ⋅ a 2 = 1 4 a b

Então temos

A = 1 4 π a b - a b

Ou

A = a b 4 π - 1

Passo 4

Finalmente temos

y - = ∫ 0 a y 2 + y 1 2 y 2 - y 1 d x a b 4 π - 1

Isso fica

y - = 2 a b π - 1 ∫ 0 a y 2 2 - y 1 2   d x

Agora substituindo as funções

y - = 2 a b π - 1 ∫ 0 a b 1 - x 2 a 2 2 - b 2 - b 2 a x 2   d x

E isso aqui tudo pode ser simplificado assim

y - = 2 a b π - 1 ∫ 0 a b 2 - b 2 a 2 x 2 - b 2 4 - b 2 4 a 2 x 2 + b 2 2 a x   d x

Agora vamos resolver essa integral

y - = 2 a b π - 1 b 2 x 0 a - b 2 3 a 2 x 3 0 a - b 2 4 x 0 a - b 2 12 a 2 x 3 0 a + b 2 4 a x 2 0 a

E isso fica

y - = 2 a b π - 1 b 2 a - b 2 a 3 - b 2 a 4 - b 2 a 12 + b 2 a 4

Vamos colocar b 2 a em evidência.

y - = 2 b π - 1 1 - 1 3 - 1 4 - 1 12 + 1 4

y - = 2 b π - 1 7 12

E finalmente temos

y - = 14 b 12 π - 1 = 7 b 6 π - 1

Passo 5

Agora vamos resolver para x - , não vamos precisar fazer muitas contas, só vamos definir

x c = x

Então

x - = ∫ 0 a x A d A

Isso fica

x - = ∫ 0 a x   y 2 - y 1 d x a b 4 π - 1

Isso fica

x - = 4 a b π - 1 ∫ 0 a b 1 - x 2 a 2 - b 2 - b 2 a x x d x

Ou então

x - = 4 a b π - 1 ∫ 0 a a 2 - x 2 + x 2 - a 2 x b a d x

x - = 4 a 2 π - 1 ∫ 0 a a 2 - x 2 + x 2 - a 2 x d x

Vamos resolver a integral agora

x - = 4 a 2 π - 1 - 1 3 a 2 - x 2 3 0 a + x 3 6 0 a - a 4 x 2 0 a

Então

x - = 4 a 2 π - 1 a 3 3 + a 3 6 - a 3 4

Podemos colocar a 3 em evidência

x - = 4 a π - 1 1 3 + 1 6 - 1 4

Isso fica

x - = 4 a π - 1 1 4

E finalmente chegamos em

x - = a π - 1

Então nossa resposta é

r - = a π - 1   ;   7 b 6 π - 1

Resposta

r - = a π - 1   ;   7 b 6 π - 1

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