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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 69

Determine as coordenadas do centro de massa da montagem soldada de hastes delgadas uniformes feitas do mesmo estoque de barras.

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar as coordenadas X _ , Y _ e Z _ do centro de massa do objeto formado pelas hastes delgadas soldadas uniformes.

Então bora resolver! Para determinar o centro de massa do corpo formado pelo conjunto de outros objetos, vamos utilizar as medidas dadas e as seguintes equações:

X _ = ∑ ( m x _ ) ∑ m = ∑ ( ρ L x _ ) ∑ ρ L = ∑ ( L x _ ) ∑ L

Y _ = ∑ ( m y _ ) ∑ m = ∑ ( ρ L y _ ) ∑ ρ L = ∑ ( L y _ ) ∑ L

Z _ = ∑ ( m z _ ) ∑ m = ∑ ( ρ L z _ ) ∑ ρ L = ∑ ( L z _ ) ∑ L

Ou seja, uma vez que são três tipos de barras lineares que compõem a estrutura, precisamos definir os seus comprimentos: o primeiro é o comprimento da barra em formato de quarto e circunferência L 1 localizada no plano y - z , o segundo e o terceiro são os comprimentos das duas barras verticais L 2   e   L 3 e o terceiro é o comprimento da barra horizontal L 4 paralela ao eixo x . Logo:

L 1 = 1 4 2 π r = π a 2

L 2 = L 3 = a

L 4 = a

Passo 2

Tranquilo né? Além dos comprimentos, precisamos das posições dos centroides dos quatro objetos em relação aos eixos x , y e z , que podemos obter com ajuda da Tabela D/4 de propriedades de figuras sólidas homogêneas. Para a barra L 1 , temos:

x _ 1 = 0

y _ 1 = - 2 r π = - 2 a π

z _ 1 = a - 2 r π = a - 2 a π

Já para a barra L 2 :

x _ 2 = 0

y _ 2 = 0

z _ 2 = a 2

Para L 3 :

x _ 3 = a

y _ 3 = 0

z _ 3 = a 2

E, finalmente, para a barra L 4 :

x _ 4 = a 2

y _ 4 = 0

z _ 4 = 0

Passo 3

Show de bola! Feito isso, temos as propriedades dos objetos separadamente e podemos substituir nas fórmulas do Passo 1:

X _ = ∑ ( L x _ ) ∑ L = L 1 x _ 1 + L 2 x _ 2 + L 3 x _ 3 + L 4 x _ 4 L 1 + L 2 + L 3 + L 4

X _ = π a 2 * 0 + a * 0 + a * a + a * a 2 π a 2 + a + a + a

X _ = a 2 + a 2 2 π a 2 + 3 a = a + a 2 π 2 + 3 = 3 a 2 π + 6 2

X _ = 3 a π + 6

Y _ = ∑ ( L y _ ) ∑ L = L 1 y _ 1 + L 2 y _ 2 + L 3 y _ 3 + L 4 y _ 4 L 1 + L 2 + L 3 + L 4

Y _ = π a 2 * - 2 a π + a * 0 + a * 0 + a * 0 π a 2 + a + a + a

Y _ = - a 2 π a 2 + 3 a = - a π + 6 2

Y _ = - 2 a π + 6

Z _ = ∑ ( L z _ ) ∑ L = L 1 z _ 1 + L 2 z _ 2 + L 3 z _ 3 + L 4 z _ 4 L 1 + L 2 + L 3 + L 4

Z _ = π a 2 * a - 2 a π + a * a 2 + a * a 2 + a * 0 π a 2 + a + a + a

Z _ = a 2 2 π - 2 + a 2 2 + a 2 2 π a 2 + 3 a = a 2 2 π - a 2 + a 2 π a 2 + 3 a = a π 2 π + 6 2

Z _ = a π π + 6

É isso, galera. Até que foi tranquilo né?

Partiu pra próxima!

Resposta

X _ = 3 a π + 6

Y _ = - 2 a π + 6

Z _ = a π π + 6

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