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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 17

Mostre que na medida em que r 1   se aproxima de r 2   a localização do centroide o aproxima de um arco circular de raio r 1 + r 2 2 .

Passo 1

Fala aí galera, vamos pra mais um problema de estática. O problema quer que a gente determine o centroide da área dada e estude o caso em que os raios se aproximam.

Para facilitar, vamos chamar π 2 - α = θ :

A × y - a r c o   m a i o r = 2 × r 2 s e n θ 3 θ × θ × r 2 2 = 2 3 s e n ( θ ) r 2 ³

A × y - a r c o   m e n o r = 2 × r 1 s e n θ 3 θ × θ × r 1 2 = 2 3 s e n ( θ ) r 1 ³

Logo, o centroide será:

y - = 2 3 s e n θ r 2 3 - r 1 3 θ r 2 2 - r 1 2

Sabemos que:

a 3 - b 3 = a - b a 2 + b a + b 2

a 2 - b 2 = a - b ( a + b )

Logo, fatorando e simplificando:

y - = 2 s e n θ r 1 2 + r 1 r 2 + r 2 2 3 θ r 2 + r 1

Para r 1 = r 2 = r :

y - = 2 s e n θ 3 r 2 3 θ 2 r = s e n θ r θ

Passo 2

Agora, vamos calcular o centroide de um setor circular com raio r 1 + r 2 2 :

y - = r s e n θ θ = r 1 + r 2 2 s e n θ θ

Para r 1 = r 2 = r :

y - = r s e n θ θ

Portanto, provamos o que o problema pediu.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule o centroide da área a seguir:
Calcule o centroide da área abaixo em termos das variáveis dos raios:
Calcule o centroide da área a seguir:
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Calcule o centroide da área a seguir: