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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 41

Determine as coordenadas do centroide por integração em termos de a e b :

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de estática. Podemos ver que o centroide da área sombreada será o centroide da parábola de segundo grau pela sua área menos o centroide da parábola de quarto grau pela sua área, divididos pela área da parábola de segundo grau menos a da parábola de quarto grau. O primeiro passo é determinar a relação entre x   e y . Neste caso:

y = k x 2

y k = x

Agora, vamos utilizar a fórmula abaixo:

x - = ∫ x d A ∫ d A  

Agora, vamos pegar um elemento retangular infinitesimal de área:

d A = y d x

Logo:

x - = ∫ x d A ∫ d A   = ∫ 0 a x y d x ∫ 0 a y d x = ∫ 0 a k x ³ d x ∫ 0 a k x ² d x = k a 4 4 k a 3 3 = 3 a 4

Já para a coordenada y :

y - = ∫ y d A ∫ d A  

Onde:

d A = y d x

Logo:

y - = ∫ y 2 d A ∫ d A   = ∫ 0 a y 2 2 d x ∫ 0 a y d x = ∫ 0 a k ² x 4 2 d x ∫ 0 a k x ² d x = a 5 k 2 10 k a 3 3 = 3 a 2 k 10

Passo 2

Já para a parábola de quarto grau:

y = k 2 x 4

y k 2 4 = x

Agora, vamos utilizar a fórmula abaixo:

x - = ∫ x d A ∫ d A  

Agora, vamos pegar um elemento retangular infinitesimal de área:

d A = y d x

Logo:

x - = ∫ x d A ∫ d A   = ∫ 0 a x y d x ∫ 0 a y d x = ∫ 0 a k 2 x 5 d x ∫ 0 a k 2 x 4 d x = k 2 a 6 6 k 2 a 5 5 = 5 a 6

Já para a coordenada y :

y - = ∫ y d A ∫ d A  

Onde:

d A = y d x

Logo:

y - = ∫ y 2 d A ∫ d A   = ∫ 0 a y 2 2 d x ∫ 0 a y d x = ∫ 0 a k 2 ² x 8 2 d x ∫ 0 a k 2 x 4 d x = a 9 k 2 2 18 k 2 a 5 5 = 5 a 4 k 2 18

Passo 3

Portanto, agora basta fazer os cálculos enunciados no começo:

x - = 3 a 4 × k a 3 3 - 5 a 6 × k 2 a 5 5 k a 3 3 - k 2 a 5 5 = 15 k a 4 - 10 k 2 a 6 6 0 5 k a 3 - 3 k 2 a 5 15 = 15 k a 4 - 10 k 2 a 6 4 ( 5 k a 3 - 3 k 2 a 5 )

y - = 3 a 2 k 10 × k a 3 3 - 5 a 4 k 2 18 × k 2 a 5 5 k a 3 3 - k 2 a 5 5 = 9 k ² a 5 - 5 k 2 ² a 9 90 5 k a 3 - 3 k 2 a 5 15 = 9 k ² a 5 - 5 k 2 ² a 9 6 ( 5 k a 3 - 3 k 2 a 5 )

Como o problema pede as coordenadas em função de a e h, temos que substituir o k por:

k = b a 2

k 2 = b a 4  

Logo:

x - = 15 k a 4 - 10 k 2 a 6 4 5 k a 3 - 3 k 2 a 5 = 5 b a 2 8 b a = 5 a 8

y - = 9 k ² a 5 - 5 k 2 ² a 9 6 ( 5 k a 3 - 3 k 2 a 5 ) = 4 b 2 a 12 a b = b 3

Resposta

x - = 5 a 8

y - = b 3

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