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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 40

Determine as coordenadas do centroide por integração em termos de a e b :

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de estática. O primeiro passo é determinar a relação entre x   e y . Neste caso:

y = k x - a 2

Logo, pegando-se um elemento retangular infinitesimal, teremos que:

d A = y d x

Agora, vamos utilizar a fórmula abaixo:

x - = ∫ x d A ∫ d A  

Logo:

x - = ∫ x d A ∫ d A   = ∫ 0 a k x x - a 2 d x ∫ 0 a y d x = ∫ 0 a k x 3 - 2 k x 2 a + k x a 2 d x ∫ 0 a ( k x 2 - 2 k x a + k a 2 ) d x = k a 4 4 - 2 k a 4 3 + k a 4 2 k a 3 3 - 2 k a 3 2 + k a 3

x - = k a 4 12 k a 3 3 = a 4

Para a coordenada y :

y - = ∫ y 2 d A ∫ d A   = ∫ 0 a y 2 2 d x ∫ 0 a y d x = ∫ 0 a 1 2 k ² x 4 - 4 k ² a x 3 + 6 k 2 a 2 x 2 - 4 a 3 x k ² + a 4 k ² d x ∫ 0 a k x 2 - 2 k x a + k a 2 d x

y - = 1 2 ( k 2 a 5 5 - 4 k 2 a 5 4 + 6 k 2 a 5 3 - 4 k 2 a 5 2 + a 5 k ) k a 3 3 - 2 k a 3 2 + k a 3 = k ² a 5 10 k a 3 3 = 3 k a 2 10

Como o problema nos pede em função e a   e b ,   temos que substituir o k .   Sabemos que:

k = b a 2

Logo:

y - = 3 a 2 10 × b a 2 = 3 b 10

Resposta

x - = a 4

y - = 3 b 10

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