Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.5 - Ex. 92
92- Ache o volume V do sólido gerado pela revolução da área sombreada por 90 gruas em torno do eixo x
Passo 1
Como a figura está rotacionada 90 graus pode ser que não fique claro a figura geométrica da questão.
Onde é o raio de giro da figura geométrica, o raio do círculo e a distância inicial da origem de .
E para calcular o volume causado por essa área basta fazer o teorema de Pappus.
Onde sabemos somente o valor de que é que sempre deve ser em radianos.
Precisaremos então calcular sua área e posteriormente seu ponto de centro em relação a .
Passo 2
Sua área é a área do retângulo formado pelo raio do quarto de círculo menos a área desse quarto de círculo.
Passo 3
E para calcular vamos fazer a seguinte conta:
E assim como fizemos com a área, também precisamos fazer com o centroide da figura multiplicado pela área da figura.
Logo:
Área do quadrado:
Centroide do quadrado:
Área do quarto de círculo:
Centroide do quarto de círculo:
Pois assim como nos exercícios do começo desse capítulo nos mostra que o centroide de um quarto de círculo é dado em relação ao centro desse quarto de círculo então em relação ao eixo de giro nós precisamos pegar o raio do círculo e diminuir da distância real do centroide do círculo para encontrar essa distância real.
Isolando :
Para encontrar o centroide :
Logo:
Passo 4
Agora basta calcular o volume: