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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 36

Determine as coordenadas do centroide por integração em termos de a e h :

Passo 1

Fala aí galera, vamos para mais um problema de estática. Podemos ver que o centroide da área sombreada será o centroide do retângulo pela sua área menos do centroide da parábola pela sua área, divididos pela área do retângulo menos a da parábola. O primeiro passo é determinar a relação entre x   e y . Neste caso, como o centroide e a área do retângulo são triviais, vamos fazer direto, integrando apenas a da parábola:

A = h a

x - = a 2

y - = h 2

Passo 2

Já no caso da parábola:

y = k x 3

y k 3 = x

Agora, vamos utilizar a fórmula abaixo:

x - = ∫ x d A ∫ d A  

Agora, vamos pegar um elemento retangular infinitesimal de área:

d A = y d x

Logo:

x - = ∫ x d A ∫ d A   = ∫ 0 a x y d x ∫ 0 a y d x = ∫ 0 a k x 4 d x ∫ 0 a k x ³ d x = k a 5 5 k a 4 4 = 4 a 5

Já para a coordenada y :

y - = ∫ y d A ∫ d A  

Onde:

d A = y d x

Logo:

y - = ∫ y 2 d A ∫ d A   = ∫ 0 a y 2 2 d x ∫ 0 a y d x = ∫ 0 a k ² x 6 2 d x ∫ 0 a k x ³ d x = a 7 k 2 14 k a 4 4 = 2 k a ³ 7

Passo 3

Portanto, agora basta fazer os cálculos enunciados no começo:

x - = a 2 × a h - 4 a 5 × k a 4 4 a h - k a 4 4 = 10 a 2 h - 4 a 5 k 5 4 a h - k a 4

y - = h 2 × a h - 2 k a 3 7 × k a 4 4 a h - k a 4 4 = 2 7 h 2 a - k 2 a 7 7 4 a h - k a 4

Como o problema pede as coordenadas em função de a e h, temos que substituir o k por:

k = h a 3

Logo:

x - = 10 a 2 h - 4 a 5 k 5 4 a h - k a 4 = 2 a 5

y - = 2 7 h 2 a - k 2 a 7 7 4 a h - k a 4 = 4 h 7

Resposta

x - = 2 a 5

y - = 4 h 7

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Localize o centro de gravidade do volume. O material é homogêneo.
Localize o centroide y - da área sombreada.
Localize o centroide y - da área.
Localize o centroide y - do paraboloide.
Localize o centroide x - da área.