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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 51

Determine a energia cinética perdida quando a placa do Problema 18.29 bate na obstrução no ponto B.

Passo 1

Vamos lá resolver mais essa. Definindo um sistema de eixos, como mostrado na figura, a velocidade angular inicial tem as seguintes componentes

ω x ' = 2 2 ω 0 ,   ω y ' = 2 2 ω 0

A quantidade de movimento angular inicial sobre o centro de massa é:

H → G 0 = I - x ' ω x ' i → + I - y ' ω y ' j → = 1 12 m a 2 2 2 ω 0 i ' → + j ' →

Sendo que a velocidade inicial do centro de massa é v → 0 = 0

Vamos considerar que ω → e v → são a velocidade angular e a velocidade do centro de massa imediatamente após o impacto. A velocidade do ponto B é

v → B = ω → × r → B / A = ω x ' i ' → + ω y ' j → + ω z ' k ' → × - a j ' →

v → B = a ω z ' i ' → + ω x ' k ' →

Como o impacto é perfeitamente plástico, v B z ' = 0 ou ω x ' = 0 . Logo a velocidade do centro de massa é:

v → = ω → × r → G / A = ω y ' j ' → + ω z ' k → × 1 2 a 9 - - i ' → - j ' → = 1 2 a ω z ' i ' → - ω z ' j ' → + ω y ' k ' →

Além disso, o momento angular de A em relação a G é:

r → G / A × m v → = 1 4 m a 2 - ω y ' i ' → + ω y ' j ' → + 2 ω z ' k ' →

A quantidade de movimento do centro de massa é:

H G = I x ' ω x ' i ' → + I y ' ω y ' j ' → + I z ' ω z ' k ' → = 1 12 m a 2 ω y ' j ' → + 1 6 m a 2 ω z ' k ' →

Passo 2

Agora vamos utilizar o princípio de impulso e quantidade de movimento para calcular a velocidade angular e a velocidade do centro de massa. O impulso do impacto em B é F Δ t k → . Assim, temos que

H → A 0 + - a j → × F Δ t k → = H → A

H → G 0 + r → G / A × m v → 0 - a F Δ t i → = H → G + r → G / A × m v →

2 24 m a 2 ω 0 i ' → + j ' → - a F Δ t i → = 1 12 m a 2 ω y ' j ' → + 1 6 m a 2 ω z ' k ' → + 1 4 m a 2 - ω y ' i ' → + ω y ' j ' → + 2 ω z ' k ' →

Resolvendo em relação aos componentes auxiliares:

1 24 2 m a 2 ω 0 = 1 12 m a 2 ω y ' + 1 4 m a 2 ω y '

ω y ' = 2 8 ω 0

0 = 1 6 m a 2 ω z ' + 1 2 m a 2 ω z '

ω z ' = 0

Como j ' → = - 2 2 i → + 2 2 j → , temos que

ω → = 2 8 ω 0 j ' → = 1 8 2 ω 0 2 2 - i → + j →

ω → = 1 8 ω 0 - i → + j →

v → = 1 2 a ω y ' k ' → = 2 16 a ω 0 k →

Passo 3

A energia cinética é dada por:

T = 1 2 m v - 2 + 1 2 I - x ω x ' 2 + 1 2 I - y ω y ' 2 + 1 2 I - z ω z ' 2

Antes do impacto, temos que v - 0 = 0 , ω x ' = 2 2 ω 0 e ,   ω y ' = 2 2 ω 0 . A energia cinética nesse instante é:

T 0 = 0 + 1 2 1 12 m a 2 2 2 ω 0 2 + 1 2 1 12 m a 2 2 2 ω 0 2 + 0 = 1 24 m a 2 ω 0 2

Após o impacto, v - =   2 16 a ω 0 e ω y ' = 2 8 ω 0 . Assim,

T 1 = 1 2 m 2 16 a ω 0 2 + 0 + 1 2 1 12 m a 2 2 8 ω 0 + 0 = 1 192 m a 2 ω 0 2

Logo, a energia cinética perdida é:

T 0 - T 1 = 1 24 m a 2 ω 0 2 - 1 192 m a 2 ω 0 2 = 7 192 m a 2 ω 0 2

Resposta

T 0 - T 1 = 7 192 m a 2 ω 0 2

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