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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 37

Representando por , H → 0 e T, respectivamente, a velocidade angular, a quantidade de movimento angular e a energia cinética de um corpo rígido com um ponto fixo O, (a) demonstre que H → 0 ⋅ ω → = 2 T e (b) mostre que o ângulo entre ω → e H → 0 será sempre agudo.

Passo 1

Vamos lá resolver mais essa. A quantidade de movimento para um corpo rígido é:

H → 0 = I x ω x - I x y ω y - I x z ω z i → + - I x y ω x + I y ω y - I y z ω z j → + - I x z ω x - I y z ω y + I z ω z k →

Onde

ω → = ω x i → + ω y j → + ω z k →

Passo 2

Fazendo o produto interno entre a quantidade de movimento e a velocidade angular, temos:

H → 0 ⋅ ω → = I x ω x 2 - I x y ω y ω x - I x z ω z ω x + I y ω y 2 - I y z ω z ω y - I x z ω x ω z - I y z ω y ω z + I z ω z 2

H → 0 ⋅ ω → =   I x ω x 2 + I y ω y 2 + I z ω z 2 - 2 I x y ω x ω y - 2 I y z ω y ω z - 2 I x z ω x ω z

Como T = 1 2 I x ω x 2 + I y ω y 2 + I z ω z 2 - 2 I x y ω x ω y - 2 I y z ω y ω z - 2 I x z ω x ω z   , logo:

H → 0 ⋅ ω → = 2 T

Passo 3

O produto interno entre H → 0 e ω → pode ser escrito como:

H → 0 ⋅ ω → = H 0 ω cos ⁡ θ

2 T = H 0 ω cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = 2 T H 0 ω

Como T > 0 , H 0 > 0 , ω > 0 , logo

cos ⁡ θ > 0

Com isso,

θ < 90 °

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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