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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 38

Mostre que a energia cinética de um corpo rígido com um ponto fixo O pode ser expressa por T = 1 2 I O L ω → 2 , onde ω → é a velocidade angular instantânea do corpo e I O L é seu momento de inércia em relação à linha de ação OL de ω → . Deduza essa expressão (a) a partir das Eqs. (9.46) e (18.19), (b) considerando T como a soma das energias cinéticas de partículas P i que descrevem círculos de raios ρ i em torno da linha OL.

Passo 1

Vamos lá resolver mais essa. A energia cinética de um corpo rígido é dada por:

T = 1 2 I x ω x 2 + I y ω y 2 + I z ω z 2 - 2 I x y ω x ω y - 2 I y z ω y ω z - 2 I x z ω x ω z

Vamos assumir que, para o corpo:

ω x = ω cos ⁡ θ x = ω λ x

ω y = ω cos ⁡ θ y = ω λ y

ω z = ω cos ⁡ θ z = ω λ _ z

Passo 2

Substituindo as expressões para as velocidades angulares na expressão para a energia cinética:

T = 1 2 I x λ x 2 ω 2 + I y λ y 2 ω 2 + I z λ z 2 ω 2 - 2 I x y λ x λ y ω 2 - 2 I y z λ y λ z ω 2 - 2 I x z λ x λ z ω 2

T = 1 2 I x λ x 2 + I y λ y 2 + I z λ z 2 - 2 I x y λ x λ y - 2 I y z λ y λ z - 2 I x z λ x λ z ω 2  

T = 1 2 I O L ω 2

Passo 3

Como cada partícula de massa Δ m i tem uma trajetória circular de raio ρ i , a velocidade da partícula é dada por v i = ρ i ω . Assim, a energia cinética da partícula é dada por:

Δ T i = 1 2 Δ m i v i 2 = 1 2 Δ m i ρ i 2 ω 2

A energia cinética do corpo é:

T = ∑ Δ T i = 1 2 ∑ Δ m i ρ i 2 ω 2

Como I O L = ∑ Δ m i ρ i 2 , logo

T = 1 2 I O L ω 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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