Determine a força em cada cabo para suportar a carga de 2,5   k N .

Passo 1

Para encontrarmos os valores das forças, o que deve ser feito primeiramente é o diagrama de corpo livre que é dado a seguir:

Em seguida, o equilíbrio de forças deve ser analisado nas três dimensões x , y e z , pelo fato de as forças estarem atuando em todos esses sentidos, como pode ser visto no diagrama.

Também é possível denotar as forças presentes na forma vetorial, tal que:

F C A = F C A 1 i - 3 j 1 2 + - 3 2 = F C A 1 i - 3 j 10

⇒ F C A = F C A 1 10 i - 3 10 j A g o r a   p a r a   a   f o r ç a   n o   c a b o   C B :

F C B = F C B - 1 i - 3 j - 1 2 + - 3 2 = F C B - 1 i - 3 j 10

⇒ F C B = F C B - 1 10 i - 3 10 j

Da mesma forma, para o cabo C D :

F C D = F C D 3 j + 4 k 3 2 + 4 2 = F C D 3 j + 4 k 5

⇒ F C D = F C D 3 5 j + 4 5 k

E a força da carga é:

F c a r g a = - 2500 k

Passo 2

O equilíbrio requer quer que o somatório de forças em cada dimensão seja nulo, ou seja:

∑ F x = 0 ;           ∑ F y = 0 ;           ∑ F z = 0

Adotando o sentido dos eixos mostrado no desenho do enunciado, temos para o eixo x :

∑ F x = 0 → 1 10 F C A - 1 10 F C B = 0

⇒ F C A = F C B   ( 1 )

Para o eixo y :

∑ F y = 0 → - 3 10 F C A - 3 10 F C B + 3 5 F C D = 0   ( 2 )

E para o eixo z :

∑ F z = 0 → 4 5 F C D - 2500   = 0

⇒ F C D = 3125   N   ( 3 )

Passo 3

Agora, como há três equações encontradas, é possível montar um sistema de equações e determinar a solução dele, cuja solução será o valor das forças:

F C A = F C B - 3 10 F C A - 3 10 F C B + 3 5 F C D = 0 F C D = 3125   N

Então, substituindo a primeira e terceira equação na segunda equação, teremos:

- 3 10 F C A - 3 10 F C A + 3 5 3125 = 0

Tal que:

6 10 F C A = 3 5 3125

Ou seja:

F C A = 988   N

Consequentemente:

F C B = 988   N

Portanto:

F C A = 988   N

F C B = 988   N

F C D = 3125   N

Resposta

F C A = 988   N

F C B = 988   N

F C D = 3125   N

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