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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 17

Determine a força em cada membro da treliça Pratt e indique se os membros estão sob tração ou compressão.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Temos aqui um problema em que precisamos determinar a força em cada membro da treliça e indicar se a mesma é de tração ou de compressão.

Relembrando, ao utilizarmos o método dos nós, dizemos que uma força é de compressão quando o sentido da força (a seta) aponta para o nó. Caso contrário, temos uma força de tração.

Bom, vamos começar obtendo as reações A x e A y no pino em A e G y no suporte em G . Pela simetria do problema, podemos afirmar que G y = A y .

Como a treliça está estática, sabemos que o somatório das forças é igual a zero. Analisando este somatório na direção y , temos:

G y = A y = 10 + 20 + 10 2 = 20   k N

Já através do somatório de forças na direção x , obtemos que A x = 0   k N .

Passo 2

Então, vamos começar utilizando o método dos nós para o nó A . Esboçando o diagrama de equilíbrio, temos:

Através das relações de equilíbrio, temos:

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ⟹ A x - F A L ⋅ cos ⁡ 45 ° + F A B = 0 A y - F A L ⋅ sen ⁡ 45 ° = 0

- F A L ⋅ cos ⁡ 45 ° + F A B = 0 20 - F A L ⋅ sen ⁡ 45 ° = 0

Resolvendo o sistema acima obtemos:

F A L = 28,3   k N   ( C o m p r e s s ã o )

F A B = 20   k N   ( T r a ç ã o )

Passo 3

Vamos seguir agora a nossa análise para o nó B . Esboçando o diagrama de equilíbrio, temos:

Através das relações de equilíbrio, temos:

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ⟹ - F A B + F B C = 0 F B L = 0

- F A B + F B C = 0 F B L = 0

Resolvendo o sistema acima obtemos:

F B L = 0

F B C = 20   k N   ( T r a ç ã o )

Passo 4

Vamos seguir agora a nossa análise para o nó L . Esboçando o diagrama de equilíbrio, temos:

Através das relações de equilíbrio, temos:

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ⟹ F A L ⋅ sen ⁡ 45 ° + F L C ⋅ sen ⁡ 45 ° - F L K ⋅ sen ⁡ 45 ° = 0 F A L ⋅ cos ⁡ 45 ° - F B L - F L C ⋅ cos ⁡ 45 ° - F L K ⋅ cos ⁡ 45 ° = 0

28,3 + F L C - F L K = 0 28,3 - F L C - F L K = 0

Resolvendo o sistema acima obtemos:

F L K = 28,3   k N   ( C o m p r e s s ã o )

F L C = 0

Passo 5

Vamos seguir agora a nossa análise para o nó C . Esboçando o diagrama de equilíbrio, temos:

Através das relações de equilíbrio, temos:

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ⟹ - F B C - F L C ⋅ cos ⁡ 45 ° + F C D = 0 F L C ⋅ sen ⁡ 45 ° + F C K - 10 = 0

- 20 + F C D = 0 F C K - 10 = 0

Resolvendo o sistema acima obtemos:

F C K = 10   k N   ( T r a ç ã o )

F C D = 20   k N   ( T r a ç ã o )

Passo 6

Vamos seguir agora a nossa análise para o nó K . Esboçando o diagrama de equilíbrio, temos:

Através das relações de equilíbrio, temos:

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ⟹ F L K ⋅ sen ⁡ 45 ° - F K D ⋅ sen ⁡ 26,5 ° - F K J ⋅ sen ⁡ 45 ° = 0 F L K ⋅ cos ⁡ 45 ° - F C K + F K D ⋅ cos ⁡ 26,5 ° - F K J ⋅ cos ⁡ 45 ° = 0

28,3 ⋅ sen ⁡ 45 ° - F K D ⋅ sen ⁡ 26,5 ° - F K J ⋅ sen ⁡ 45 ° = 0 28,3 ⋅ cos ⁡ 45 ° - 10 + F K D ⋅ cos ⁡ 26,5 ° - F K J ⋅ cos ⁡ 45 ° = 0

28,3 - 0,631 F K D - F K J = 0 14,2 + 1,266 F K D - F K J = 0

Resolvendo o sistema acima obtemos:

F K D = 7,43   k N   ( C o m p r e s s ã o )

F k J = 23,6   k N   ( C o m p r e s s ã o )

Passo 7

Devido a simetria da treliça, podemos concluir que as forças nos membros da metade da direita são os mesmos que calculamos anteriormente. Então, eles são:

F G H = F H I = 28,3   k N   C o m p r e s s ã o

F G F = F F E = F E D = 20   k N   T r a ç ã o

F F H = F H E = 0

F E I = 10   k N   ( T r a ç ã o )

F I D = 7,43   k N   ( C o m p r e s s ã o )

F I J = 23,6   k N   ( C o m p r e s s ã o )

O único esforço que nos resta calcular é F J D , que pode ser calculado facilmente através da seguinte relação:

F J D = 2 F K J cos ⁡ 45 ° = 33,3   k N   T r a ç ã o

E assim finalizamos a questão.

Resposta

F G H = F H I = F A L = F L K = 28,3   k N   C o m p r e s s ã o

F G F = F F E = F E D = F A B = F B C = F C D = 20   k N   T r a ç ã o

F F H = F H E = F B L = F L C = 0

F E I = F C K = 10   k N   ( T r a ç ã o )

F I D = F K D = 7,43   k N   ( C o m p r e s s ã o )

F I J = F k J = 23,6   k N   ( C o m p r e s s ã o )

F J D = 33,3   k N   T r a ç ã o

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