A viga uniforme tem peso W e comprimento l , e é apoiada por um pino em A e um cabo B C . Determine as componentes horizontal e vertical da reação em A e a tração no cabo necessárias para manter a viga na posição indicada.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos determinar as reações no pino A (uma força na direção do eixo x e uma na direção do eixo y ) e a tração no cabo B C necessárias para manter a viga na posição indicada.

Para isto, é fundamental fazermos um diagrama de corpo livre identificando as forças aos quais estão submetidos!!! Então, o nosso diagrama de equilíbrio será:

Agora que já identificamos todas as reações, basta lembrarmos das relações de equilíbrio

∑ F = 0 ∑ M = 0

Então, vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar determinando a tração T B C . Para isto, temos que calcular o somatório do momento em relação ao ponto A , pois assim eliminamos as reações deste apoio da nossa equação.

Desta forma, temos:

∑ M R A = 0

- W ⋅ l 2 ⋅ cos ⁡ θ - T B C ⋅ cos ⁡ ϕ ⋅ l ⋅ sen ⁡ θ + T B C ⋅ sen ⁡ ϕ ⋅ l ⋅ cos ⁡ θ = 0

T B C = W cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ cos ⁡ ϕ - sen ⁡ ϕ cos ⁡ θ

Utilizando a relação de soma de arcos, apenas para reorganizarmos a função acima, temos:

T B C = W cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ - ϕ

T B C = W cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ - ϕ

E assim descobrimos a nossa primeira incógnita!

Passo 3

Agora temos que determinar as reações no pino A . Para isto, vamos fazer o somatório das forças nas direções x e y .

Desta forma, temos:

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ⟹ A x + T B C ⋅ cos ⁡ ϕ = 0 A y - W + T B C ⋅ sen ⁡ ϕ = 0

A x + W cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ - ϕ ⋅ cos ⁡ ϕ = 0 A y - W + W cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ - ϕ ⋅ sen ⁡ ϕ = 0

Resolvendo as duas equações acima obtemos:

A x = - W cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ 2 sen ⁡ θ - ϕ

A y = W - W cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ 2 sen ⁡ θ - ϕ ⟹ A y = W 2 sen ⁡ θ - ϕ - cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ 2 sen ⁡ θ - ϕ

E assim finalizamos a questão!

Resposta

T B C = W cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ - ϕ

A x = - W cos ⁡ θ cos ⁡ ϕ 2 sen ⁡ θ - ϕ

A y = W - W cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ 2 sen ⁡ θ - ϕ ⟹ A y = W 2 sen ⁡ θ - ϕ - cos ⁡ θ sen ⁡ ϕ 2 sen ⁡ θ - ϕ

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