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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 4.3 - Ex. 10

Determine a força nos elementos B E e C E da treliça carregada.

Passo 1

Vamos calcular as forças pelo método dos nós, isolando cada pino da treliça. Primeiro vamos às equações externas da treliça, para acharmos os valores de reação de A e D . Note que o apoio em D só causa reação para cima. Por semelhança de triângulos, entre o triângulo A B D e E C D , podemos ver que o ângulo C E ^ D é igual a 45° e que E C - = A B - / 2 = 1,5 m.

∑ F x = 0 ⇒ A x = 0

∑ F y = 0 ⇒ A y + D y - 5 - 3 = 0 ⇒ A y = 8 - D y

∑ M A = 0 ⇒ - 5 3 cos ⁡ 45 ° - 3 3 + 1,5 cos ⁡ 45 ° + D y 6 = 0

⇒ 6 D y = 22,8 ⇒ D y = 3,8   k N   ( p a r a   c i m a )

⇒ A x = 8 - D y ⇒ A y = 4,2   k N   ( p a r a   c i m a )

Passo 2

Agora vamos calcular as equações para cada nó. C indica que o elemento está comprimido e T indica que ele está tracionado. Consideraremos todas as forças desconhecidas de tração, e se obtivermos um valor negativo quer dizer que são de compressão

Nó D:

Precisamos conhecer o ângulo C D ^ E = θ para calcular as equações desse nó. Se fizermos um triângulo retângulo com hipotenusa B D e base na horizontal, podemos calcular θ :

tg ⁡ θ = 3 sen ⁡ 45 ° 6 - 3 cos ⁡ 45 ° = 0,547 ⇒ θ = arctg ⁡ ( 0,547 ) = 28,7 °

Agora temos para o nó D :

∑ F x = 0 ⇒ - D E - C D cos ⁡ 28,7 ° = 0 ⇒ D E = - C D cos ⁡ 28,7 °

∑ F y = 0 ⇒ C D sen ⁡ 28,7 ° + 3,8 = 0 ⇒ C D = - 3,8 sen ⁡ 28,7 ° ⇒ C D = 7,92   k N   ( C )

D E = - C D cos ⁡ 28,7 ° ⇒ D E = 7,92 cos ⁡ ( 28,7 ° ) ⇒ D E = 6,95   k N   ( T )

Passo 3

Nó C:

∑ F x = 0 ⇒ - B C cos ⁡ 28,7 ° - C D cos ⁡ 28,7 ° - C E cos ⁡ 45 ° = 0

Isolando C E :

C E = - B C + C D cos ⁡ 28,7 ° cos ⁡ 45 ° = - B C + 7,92 cos ⁡ 28,7 ° cos ⁡ ( 45 ° )

∑ F y = 0 ⇒ B C sen ⁡ 28,7 ° + C D sen ⁡ 28,7 ° - C E sen ⁡ 45 ° - 3 = 0

Substituindo C E e C D :

⇒ B C + 7,92 sen ⁡ ( 28,7 ° ) + B C + 7,92 cos ⁡ 28,7 ° cos ⁡ 45 ° sen ⁡ 45 ° - 3 = 0

⇒ B C + 7,92 sen ⁡ 28,7 ° + B C + 7,92 cos ⁡ 28,7 ° - 3 = 0

⇒ 0,48 B C + 3,8 + 0,88 B C + 6,95 - 3 = 0 ⇒ 1,36 B C = - 7,75

⇒ B C = 5,7   k N   ( C )

C E = - B C + 7,92 cos ⁡ 28,7 ° cos ⁡ 45 ° ⇒ C E = - 7,92 - 5,7 cos ⁡ 28,7 ° cos ⁡ 45 °

⇒ C E = 2,75   k N   ( C )

Passo 4

Nó E:

O ângulo β = B E ^ A é facilmente calculado, pois o triângulo A B E é isósceles:

β = 180 ° - 45 ° 2 = 67,5 °

Agora vamos às equação de y para E:

∑ F y = 0 ⇒ B E sen ⁡ 67,5 ° - C E sen ⁡ 45 ° = 0 ⇒ B E = 2,75 sen ⁡ 45 ° sen ⁡ 67,5 ° ⇒ B E = 2,1   k N   ( T )  

Resposta

C E = 2,75   k N   ( C )

B E = 2,1   k N   ( T )  

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