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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 218

Localize o centroide da área hachurada

Passo 1

y ( x ) = (1)/(sqrt(k)) sqrt(x) e a área da região

A = (1)/(sqrt(k)) int_0^(2 b) sqrt(x) d x - (1)/(2) ( 2 b - b ) b

A = (2)/(3 sqrt(k)) ( 2 b )^((3)/(2)) - (b^2)/(2) = (2 sqrt(8) sqrt(b^3))/(3 sqrt(k)) - (b^2)/(2)

Passo 2

Momentos sobre eixo x

A overset(-)(y) = (1)/(2 k) int_0^(2 b) sqrt(x) sqrt(x) d x - (1)/(2) ( 2 b - b ) b ((b)/(3))

A overset(-)(y) = (1)/(4 k) 4 b^2 - (b^3)/(6)

overset(-)(y) = ((b^2)/(k) - (b^3)/(6))/((2 sqrt(8 b^3))/(3 sqrt(k)) - (b^2)/(2))

Passo 3

Podemos determinar k diretamente usando o gráfico 2 b = k b^2 , então k = (2)/(b) e y = ((2 b^2)/(3))/((8)/(3) b - 1) = (2 b)/(5)

Momentos do eixo y

A overset(-)(x) = (1)/(sqrt(k)) int_0^(2 b) sqrt(x) x d x - (1)/(2) ( 2 b - b ) b (b + (2 b)/(3))

Substituindo por k ; A overset(-)(x) = (sqrt(b))/(sqrt(2)) ((2)/(5)) ( 2 b )^((5)/(2)) - (b^3)/(2) - (b^3)/(3) = (23 b^3)/(30)

overset(-)(x) = ((23 b^3)/(30))/((2 sqrt(8 b^3))/(3 sqrt((2)/(b))) - (b^2)/(2)) = ((23)/(30))/((5)/(6)) b = (23)/(25) b

Resposta

overset(-)(x) = (23)/(25) b ; y = (2 b)/(5)

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