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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 37

Determine por integração direta o centroide da área mostrada na figura.

Passo 1

Fala aí galera, vamos pra mais um problema de estática. O problema quer que a gente determine o centroide por integração. Para isso, Sabemos que:

y = 1 2 ( y + b ) = b a a - a 2 - x 2

Agora, precisamos determinar o termo d A , que nada mais é do que a área da nossa figura que está variando:

d A = ( b - y ) d x d A = b a a - a 2 - x 2 d x

Para a área, vamos integrar o termo d A . Fica assim:

  A = ∫ d A = ∫ 0 a b a a - a 2 - x 2   d x

= a b 1 - π 4

Passo 2

Agora, para encontrarmos os centroides, devemos utilizar as seguintes fórmulas:

x - = ∫ x   d A ∫ d A             ;             y - = ∫ y   d A ∫ d A

Como já temos a integral de d A , vamos calcular as integrais do numerador:

∫ x   d A = ∫ 0 π x b a a - a 2 - x 2   d x = 1 6 a 2 b

Vamos repetir o processo para y :

∫ y   d A = ∫ 0 π b a a - a 2 - x 2   d x b a a - a 2 - x 2   d x = 1 6 a b ²

Passo 3

Por fim, basta substituirmos o numerador e o denominador, ficaremos com:

x - = 2 a 3 4 - π

y - = 2 b 3 4 - π

Vale ressaltar que o nosso foco não é nas operações matemáticas.

Resposta

x - = 2 a 3 4 - π

y - = 2 b 3 4 - π

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