86- Os dois arcos circulares AB e BC são girados em torno do eixo vertical, para se obter a superfície de revolução mostrada. Calcule a área externa A dessa superfície.

Passo 1

Pelo teorema de Pappus temos que a área é:

A = 2 π y - L → p a r a   r o t a c ã o   n o   e i x o   x

A = 2 π x - L → p a r a   r o t a c ã o   n o   e i x o   y

Como rotacionamos no eixo y precisamos de x - e o x - é o centroide da linha que gera o sólido e L o comprimento da mesma linha que gera o sólido. E essa linha pode ser vista abaixo:

Passo 2

O comprimento L é fácil conseguir pois é o comprimento de uma semicircunferência de raio igual a 50   m m :

L = 2 π r 2 = π × 50 = 50 π   m m

Agora para o centroide não tem mistério pois note que se eu dividir esse arco em x nós teremos arcos iguais:

Logo x - será o comprimento de um raio mais a diferença do menor raio do arco para o eixo y . Ou a distância do eixo y para a reta de bolinhas na figura acima

x - = 100   m m

Passo 3

Logo:

A = 2 π × 100 × 50 π = 98.7 × 10 3   m m 2

Resposta

A = 98.7 × 10 3   m m 2

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