91- A área sombreada é limitada por meio ciclo de uma onda senoidal e pelo eixo da onda. Determine o volume gerado por uma revolução completa da área em torno do eixo .
Passo 1
Pelo teorema de Pappus temos que o volume causado por uma área rotacionada em torno do eixo é de:
Então precisamos calcular antes a área dessa figura e depois sua coordenada vertical do centroide.
E antes disso tudo precisamos saber sua função. Que tem a cara:
Onde é o cruzamento da função com o eixo , sua amplitude e é a velocidade angular dessa função seno.
Passo 2
Calculando a área da função seno temos:
Comprimento da Linha vertical (função seno menos a reta ):
Encontramos essa integral por substituição.
Passo 3
Agora calculando :
Onde é a média aritmética das funções onde elas estão compreendidas:
Logo:
Como:
E
Logo:
Então a integral fica:
A integral nos dá:
Logo será:
Passo 4
Agora podemos calcular o volume: