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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 48

Determine por integração direta os centroides das áreas a seguir.

v

Passo 1

Fala aí galera, vamos pra mais um problema de estática. O problema quer que a gente determine o centroide por integração. Para isso, Sabemos que:

x - = x

y - = 1 2 y = acos ⁡ π x 2 L

Agora, precisamos determinar o termo d A , que nada mais é do que a área da nossa figura que está variando:

d A = y d x d A = acos ⁡ π x 2 L   d x

Para a área, vamos integrar o termo d A . Fica assim:

  A = ∫ d A = ∫ 0 L / 2 acos ⁡ π x 2 L   d x

= 2 π a L

Passo 2

Agora, para encontrarmos os centroides, devemos utilizar as seguintes fórmulas:

x - = ∫ x   d A ∫ d A             ;             y - = ∫ y   d A ∫ d A

Como já temos a integral de d A , vamos calcular as integrais do numerador:

∫ x   d A = ∫ 0 L / 2 x acos ⁡ π x 2 L   d x = 0.106   a L 2

Vamos repetir o processo para y :

∫ y   d A = ∫ 0 L / 2 1 2 acos ⁡ π x 2 L   acos ⁡ π x 2 L   d x d x = 0.204   a 2 L

Passo 3

Por fim, basta substituirmos o numerador e o denominador, ficaremos com:

x - = 0,236   L

y - = 0,454   a

Vale ressaltar que o nosso foco não é nas operações matemáticas.

Resposta

x - = 0,236   L

y - = 0,454   a

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9.89 Determine o volume do sólido formado girando-se a área sombreada 360 ° em torno do eixo z .
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