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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 45

Um arame homogêneo é dobrado na forma mostrada na forma a seguir. Determine por integração direta a coordenada x de seu centroide.

Passo 1

Fala aí galera, vamos pra mais um problema de estática. O problema quer que a gente determine o centroide por integração. Para isso, Sabemos que:

x = a cos 2 ⁡ θ  

Agora, precisamos determinar o termo d θ , que nada mais é do que a área da nossa figura que está variando:

d L = d x 2 + d y 2

Onde:

x = acos 3 ⁡ θ

d x = - 3 a cos 2 ⁡ θ s i n θ   d θ

y = asin 3 ⁡ θ

d y = 3 asin ² ⁡ θ cos ⁡ θ   d θ

Substituindo em d L :

d L = ( 3 asin ² ⁡ θ cos ⁡ θ   d θ ) 2 + ( - 3 a cos 2 ⁡ θ s i n θ   d θ ) 2

d L = 3 a cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

Para a área, vamos integrar o termo d L . Fica assim:

  L = ∫ d L = ∫ 0 π / 2   3 a cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

= 3 2 a

Passo 2

Agora, para encontrarmos a posição x - do centroides, devemos utilizar a seguinte fórmula:

x - = ∫ x   d L ∫ d L

Como já temos a integral de d L , vamos calcular a integral do numerador:

∫ x   d L = ∫ 0 π / 2 acos 3 ⁡ θ 3 a cos ⁡ θ sin ⁡ θ   d θ = 3 5 a 2

Passo 3

Por fim, basta substituirmos o numerador e o denomidador, ficaremos com:

x - = 2 5 a

Vale ressaltar que o nosso foco não é nas operações matemáticas.

Resposta

x - = 2 2 3 π

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