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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 9

9- Determine, por integração direta, as coordenadas do centroide da área trapezoidal.

Passo 1

Primeiramente temos que a encontrar as funções das duas retas, e uma reta normalmente tem a cara:

y = m x + b

Onde m é a inclinação da reta e b é o número atrelado ao cruzamento da reta no eixo y , ou simplesmente quando x = 0 . Logo temos uma região formada pelas duas retas.

y = 0.3 x + 5

E

y = 0.6 x + 0

Passo 2

Se traçarmos linhas verticais entre essas duas funções e supormos que a somatória das áreas dessas linhas nos fornece a área dessa região nós teremos:

L = 0.3 x + 5 - 0.6 x = - 0.3 x + 5

Onde L é o comprimento total da linha vertical, se d x for a largura logo teremos:

d A = - 0.3 x + 5 d x

Na região onde x varia de 0 a 5, teremos uma área de:

A = ∫ 0 5 - 0.3 x + 5 d x = - 0,3 x 2 2 + 5 x 0 5 = - 0.3 × 25 2 + 25 = 21.25

Passo 3

Pela área ter sido em função de x (ou por termos utilizado linhas verticais) podemos dizer que x m seja igual ao próprio eixo x logo o y m será a média das duas funções:

y m = 0.3 x + 5 + ( 0.6 x ) 2 = 0.9 x + 5 2

Logo se fizermos:

∫ x m   d A = ∫ 0 5 x - 0.3 x + 5 d x = ∫ 0 5 - 0.3 x 2 + 5 x d x = - 0.3 x 3 3 + 5 x 2 2 0 5

∫ x c   d A = - 0.1 × 125 + 125 2 = 50

E agora para y teremos:

∫ y m   d A = 1 2 ∫ 0 5 0.9 x + 5 - 0.3 x + 5 d x = 1 2 ∫ 0 5 - 0.27 x 2 + 3 x + 25 d x

1 2 - 0.27 x 3 3 + 3 x 2 2 + 25 x 0 5 = 1 2 - 0.09 × 5 3 + 3 2 × 25 + 5 3 = 75.625

Passo 4

Logo:

x - = ∫ x m   d A A = 50 21.25 = 2.353

y - = ∫ y m d A A = 75.625 21.25 = 3.56

Resposta

x - , y - = ( 2.35 ; 3.56 )

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Determine a coordenada y do centroide da área sombreada
A espessura da placa triangular varia linearmente em y, dede o valor t 0 ao longo da sua base em y = 0 até 2 t 0 em y = h. Determine a coordenada y do centro de massa da placa.
Localize o centroide da área mostrada na figura por integração direta. (Cuidado: Observe cuidadosamente o sinal correto da raiz envolvida.)
Calcule a distância h - medida desde a base até o centroide do volume do cone circular truncado.
A figura representa uma peça plana de uma chapa metálica, simétrica em relação ao eixo A-A e que tem o contorno superior parabólico. Escolha as suas próprias coordenadas e calcule a distância h - a pa