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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 131

Determine por integração direta a localização do centroide de metade de uma casca hemisférica delgada uniforme de raio R.

Passo 1

Tá legal, vamos lá! A primeira coisa que devemos fazer é notar através da figura do enunciado que x - = 0 . Agora, o elemento que área que iremos usar será dado por:

d A = π r ( R d θ )

Sendo que r = R s e n   θ , então, substituindo o valor de r na equação anterior:

d A = π R s e n θ R d θ → d A = π R 2 s e n   θ d θ

Passo 2

Então, aplicando a integral dos dois lados dessa expressão, temos:

∫ d A = ∫ π R 2 s e n   θ d θ

Resolvendo as integrais, temos:

A = π R 2 - cos ⁡ θ 0 π / 2

Substituindo os limites de integração:

A = π R 2 - 0 - - 1

Então, simplificando a expressão, temos a área para a figura gerada:

A = π R 2

Passo 3

Agora podemos usar a expressão que relaciona o centro de massa em y com a área da superfície em estudo, lembrando que nesse caso a coordenada:

y - E L = - 2 r π

Então, substituindo o valor de r obtido no passo 1:

y - E L = - 2 R s e n θ π

Dessa forma, a expressão que relaciona o centro de massa do sólido com a área da superfície será dada por:

y - A = ∫ y - E L d A

Então, substituindo o valor de y - E L e d A :

y - A = ∫ a π / 2 - 2 R s e n θ π π R 2 s e n   θ d θ = - 2 R 3 ∫ a π / 2 s e n 2 θ d θ

Resolvendo a integral, temos:

y - A = - 2 R 3 θ 2 - s e n 2 θ 4 0 π / 2

Substituindo os limites de integração, temos:

y - A = - 2 R 3 1 2 π 2 - 0 4 - 0

Então, simplificando a expressão e substituindo o valor de A encontrado no passo 2:

y - π R 2 = - π 2 R 3

E, isolando y - da equação, temos:

y - = - 1 2 R

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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