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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 77

Determine a localização e do centro de cisalhamento (ponto O) para o elemento de paredes finas que tem a seção transversal mostrada na figura. Os segmentos do elemento têm a mesma espessura t .

Passo 1

Estratégia de resolução: Vamos calcular a força que atua na aba inclinada, depois vamos utilizar o somatório de momentos em O ' para calcular a distância e .

Para isso vamos precisar calcular o momento de inércia da seção e desenvolver uma fórmula que represente o momento estático nas abas AB e BC.

Por comodidade vamos definir:

b = a ⋅ s e n 60 = 3 2 a

h = a ⋅ cos ⁡ 60 = a 2

t ' = t cos ⁡ 60 = 2 t

Passo 2

Começamos calculando o momento de inércia. Observe na figura, destacado em azul, a decomposição da barra inclinada em uma barra com momento de inércia equivalente:

I = t ⋅ a 3 12 + t ' ⋅ a 3 12

I = t ⋅ a 3 12 + 2 t ⋅ a 3 12

I = 3 t ⋅ a 3 12

I = t ⋅ a 3 4

Passo 3

Vamos calcular o momento estático sobre a aba inclinada:

Q 1 = x 1 t ⋅ x 1 2 s e n 30

Q 1 = x 1 2 t 4

Onde 0 < x 1 < a

Passo 4

Para encontrar a força sobre a aba basta integrar o fluxo de cisalhamento:

F 1 = ∫ 0 a q 1 ⋅ d x  

F 1 = ∫ 0 a V Q 1 I ⋅ d x  

A força cortante é igual à força aplicada V = P

F 1 = ∫ 0 a P Q 1 I ⋅ d x  

F 1 = P I ∫ 0 a Q 1 ⋅ d x  

Substituindo o momento estático

F 1 = P I ∫ 0 a t x 1 2 4 ⋅ d x

Efetuando a integração

F 1 = P t 4 I ⋅ x 1 3 3 0 a

F 1 = P t a 3 12 I

Substituindo o momento de inércia

F 1 = P t a 3 12 ⋅ t ⋅ a 3 4

Chegamos na seguinte expressão para a força:

F 1 = P 3

Passo 5

Agora vamos fazer o somatório de momentos em O '

∑ M O ' = 0 ⇒ P ⋅ e - b - ( 2 F 1 ⋅ c o s ( 60 ) ⋅ b )

P e - 3 2 a = 2 ⋅ P 3 ⋅ 3 2 ⋅ 1 2 a

e - 3 2 a = 2 = 3 6 a

e = 3 6 a + 3 2 a

e = 2 3 3 a

e = 1,1547 a

Resposta

e = 1,1547 a

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