Enunciado

Determine a localização ( overset(-)(x) , overset(-)(y) ) do centroide do fio.

Passo 1

Fala! A gente quer o centroide desse arco. Como temos um arco, a gente precisa separar um pedacinho dele, chamado de elemento diferencial. Isso vai nos ajudar a montar a integral para achar o comprimento do arco e para usar as fórmulinhas do centroide.

Vamos começar enxergando nosso elemento diferencial, ele é o comprimento de um pedacinho do nosso arco, como mostrado na figura:

Como a espessura desse arco é desprezível, consideramos que ele só tem comprimento. Mas a gente precisa escrever esse comprimento dele em função de x e y . Observe que:

Aí usando o bom e velho Pitágoras chegamos em:

d L = sqrt(d x^2 + d y^2)

Vamos aproveitar e extrair o d x da raiz:

d L = sqrt(d x^2 (1 + (d y^2)/(d x^2)))

d L = sqrt(1 + ((d y)/(d x))^2) d x

Olha lá, ficou um (d y)/(d x) ainda dentro, isso tem cara de derivada. Sabendo que y = x^2 , derivando temos então:

(d y)/(d x) = 2 x

Logo, nosso d L fica:

d L = sqrt(1 + (2 x)^2) d x = sqrt(1 + 4 x^2) d x

d L = sqrt(4 ((1)/(4) + x^2)) = 2 sqrt(((1)/(2))^2 + x^2)

Passo 2

Para obter o nosso comprimento somaremos todos os pedacinhos elementares da curva através da integral. Já que temos uma parábola os limites se integração serão - 1 e + 1 (intervalo onde nossa parábola está em relação a x ) como mostra a figura.

L = int_L d L

L = int_(- 1)^(+ 1) 2 sqrt(((1)/(2))^2 + x^2) d x

Resolvendo essa integral por substituição trigonométrica aproveitando a tabelinha:

Nosso x será x = (1)/(2) t a n ( u ) , logo

(d x)/(d u) = (1)/(2) sec^2 (u) -> d x = (1)/(2) sec^2 (u) d u

E os limites de integração:

x_1 = - 1 , - 1 = (1)/(2) tan (u_1) -> u_1 = arctan (- 2) = - arctan (2)

x_2 = 1 , 1 = (1)/(2) tan (u_2) -> u_2 = arctan (2)

Aí nossa integral fica:

L = int_(- a r c t a n ( 2 ))^(a r c t a n ( 2 )) 2 sqrt(((1)/(2))^2 + ((1)/(2) tan (u))^2) (1)/(2) sec^2 (u) d u

L = int_(- a r c t a n ( 2 ))^(a r c t a n ( 2 )) 2 sqrt(((1)/(2))^2 (1 + (tan (u))^2)) (1)/(2) sec^2 (u) d u

L = int_(- a r c t a n ( 2 ))^(a r c t a n ( 2 )) 2 ((1)/(2)) sqrt((1 + (tan (u))^2)) (1)/(2) sec^2 (u) d u

Lembrando que temos uma identidade trigonométrica que diz 1 + tan^2 u = sec^2 u :

L = int_(- a r c t a n ( 2 ))^(a r c t a n ( 2 )) 2 ((1)/(2)) sec (u) (1)/(2) sec^2 (u) d u

L = (1)/(2) int_(- a r c t a n ( 2 ))^(+ a r c t a n ( 2 )) sec^3 (u) d u

E para resolver essa integral envolvendo o sec^3 , precisamos usar uma fórmulinha de redução de integrais trigonométricas em que teremos:

L = (1)/(2) int_(- a r c t a n ( 2 ))^(+ a r c t a n ( 2 )) sec^3 (u) d u

L = [(1)/(2) sec^2 (u) s e n (u)]_(- arctan (2))^(arctan (2)) + (1)/(2) int_(- a r c t a n ( 2 ))^(+ a r c t a n ( 2 )) sec (u) d u

L = [(1)/(2) sec^2 (u) s e n (u)]_(- arctan (2))^(arctan (2)) + [(1)/(2) ln | tan (u) + sec (u)]_(- arctan (2))^(arctan (2))

L = sqrt(5) + (ln (sqrt(5) + 2) - ln (sqrt(5) - 2))/(4)

L = 2,9579 m

Passo 3

Passamos então para o centroide da nossa barra. Vemos que nosso overset(-)(x) por simetria se encontra em overset(-)(x) = 0 .

Para overset(-)(y) temos que:

overset(-)(y) = (int_L y d L)/(L)

Sabendo que nosso y = x^2 e usando d L do passo 1, logo, nosso int_L y d L fica:

int_L y d L = int_(- 1)^1 ( x^2 ) 2 sqrt(((1)/(2))^2 + x^2) d x

Resolvendo essa integral também por substituição trigonométrica, chegamos em:

int_L y d L = (1)/(8) * int_(- a r c t a n ( 2 ))^(arctan ( 2 )) - s e c^3 ( u ) + s e c^5 ( u ) d u

E então:

int_L y d L = (- l n ( sqrt(5) + 2 ) + l n ( sqrt(5) - 2 ) + 36 sqrt(5))/(64) = 1,2126

Você também pode usar tabelinhas de integrais. Só vê o que seu prof prefere nesses casos onde a integral é mais feinha.

Logo, nosso centroide fica:

overset(-)(y) = (int_L y d L)/(L) = (1,2126)/(2,9579) = 0,4099 m

Resposta

overset(-)(x) = 0 m

overset(-)(y) = 0,4099 m

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