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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 15

Determine a massa e localize o centro de massa ( x - ,   y - ) da barra uniforme. A massa por unidade de comprimento da barra é 3 kg/m.

Passo 1

Nosso Elemento Diferencial é o comprimento do elemento mostrado na figura:

Essa área é dada por:

d A = y ⅆ x

Sabendo que y = h a 2 x 2 , nosso d A fica:

d A = h a 2 x 2   d x

O centroide do nosso elemento diferencial fica em o x - = x , enquanto que para o y - teremos:

y - = y 2

y - = 1 2 h a 2 x 2 ∴ y - = h 2 a 2 x 2

Passo 2

Vamos encontrar nossa área:

A = ∫ A ⅆ A

A = ∫ 0 a h a 2 x 2   d x = h a 2 x 3 3 0 a = 1 3 a h  

Passo 3

E agora encontramos nosso centroide.

Para x - temos:

x - = ∫ A x - ⅆ A ∫ A ⅆ A

x - =

x - = ∫ 0 a h a 2 x 2 ⅆ x 1 3 a h = ∫ 0 a h a 2 x 3 ⅆ x 1 3 a h = h a 2 x 4 4 0 a 1 3 a h = 3 4 a

E para y - teremos:

y - = ∫ A y - ⅆ A ∫ A ⅆ A

y - = ∫ 0 a h 2 a 2 x 2 h a 2 x 2 ⅆ x 1 3 a h = ∫ 0 a h 2 2 a 4 x 4 ⅆ x 1 3 a h = h 2 2 a 4 x 5 5 0 a 1 3 a h = 3 10 h

Resposta

A = 1 3 a h

x - = 3 4 a

y - = 3 10 h

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Determine as coordenadas do centroide por integração em termos de a e h :
Determine a distância h para a qual o centroide da área sombreada fique o mais distante de BB’, quando (a) k = 0,1 eb k = 0,8 .
Determine as coordenadas do centroide por integração em termos de a e h :
Determine a posição do centroide do corpo composto mostrado na figura, quando (a) h = 2 b , (b) h = 2,5 b .
Determine a coordenada z do centroide do corpo mostrado na figura. (Dica: use o resultado do Problema Resolvido 5.13.)