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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 42

42. Determine o momento resultante produzido pelas forças F B → e F C → em relação ao ponto O. Expresse o resultado como um vetor cartesiano.

Passo 1

Faalaaa! Ele quer o momento resultante em relação a O causado pelas duas forças na forma cartesiana. Para isso, a gente vai precisar achar o momento que cada força causa e somar, ok?

Para fornecer o resultado como o enunciado pede precisamos calcular o momento da força F usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = r → × F → = i j k r x r y r z F x F y F z

Onde:

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor que vai da origem da rotação até o ponto de aplicação da força;

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

Passo 2

O vetor r → mencionado tem que sair do ponto em relação a qual a gente quer calcular o momento, ou seja, O , até o ponto da aplicação da força A . Para achar um vetor que liga dois pontos, a gente faz ponto final menos ponto inicial, assim:

r → = A - O

Onde

A = 0,0 , 6

O = 0,0 , 0

r → = 0,0 , 6 - 0,0 , 0 = 0,0 , 6

Logo, nosso vetor fica

r → = { 0 i + 0 j + 6 k }

E esse vetor tem como coordenadas r → = { 0 i + 0 j + 6 k }

Passo 3

Mas para usarmos esse método temos que expressar a força como um vetor cartesiano, e como fazemos isso?

Basta multiplicar o módulo da nossa força pelo vetor unitário na direção e sentido da mesma. Ele pode ser calculado da seguinte maneira:

û = u → u →

Vamos fazer isso para cada força.

Começando por F B . O   u → para o nosso caso é o vetor que sai se A e vai para B . Podemos achar ele assim:

u B → = B - A = 0 ,   2.5   , 0 - 0,0 , 6 = 0 ,   2.5 ,   - 6

Aí a gente acha o vetor unitário:

û B = u B → u B → = 0 i + 2,5 j - 6 k 0 2 + 2,5 2 + - 6 2

= 0 i + 2,5 j - 6 k 6,25 + 36

= 0 i + 2,5 j - 6 k 42,25

= 0 i + 2,5 j - 6 k 6,5

= { 0 i + 0,38 j - 0,92 k }

Passo 4

Agora para F C , o vetor sai de A para C :

u A C = C - A = 2 , - 3,0 - 0,0.6 = 2 , - 3 , - 6  

O unitário fica:

û C = u C → u C → = 2 i - 3 j - 6 k 2 2 + - 3 2 + - 6 2

= 2 i - 3 j - 6 k 4 + 9 + 36

= 2 i - 3 j - 6 k 49

= 2 i - 3 j - 6 k 7

= { 0,28 i - 0,43 j - 0,86 k }

Passo 5

Agora vamos achar as forças expressas na forma de vetor cartesiano.

Começando com F B :

F B → = F B û B

= 780 ⋅ { 0 i + 0,38 j - 0,92 k }

⇒ F B → = { 0 i + 296,4 j - 717,6 k }

E agora para F C :

F C → = F C û C

= 420 ⋅ { 0,28 i - 0,43 j - 0,86 k }

⇒ F C → = { 117,6 i - 180,6 j - 361,2 k }

Passo 6

Agora já temos tudo para calcular o momento das forças F B e F C .

Primeiro vamos calcular o de F B .

M 0 B = r → × F B → = i j k r x r y r z F B x F B y F B z

= i j k 0 0 12 0 296,4 - 717,6

= 0 ⋅ ( - 717,6 ) - 12 ⋅ 296,4 i - - 717,6 ⋅ 0 - 0 ⋅ 12 j + 0 ⋅ 296,4 - 0 ⋅ 0 k

= 0 - 3556,8 i - 0 - 0 j + ( 0 + 0 ) k

= - 3556,8 i + 0 j + 0 k

Agora o momento de F C .

M 0 C = r → × F C → = i j k r x r y r z F C x F C y F C z

= i j k 0 0 6 117,6 - 180,6 - 361,2

= 0 - 6 ⋅ 180,6 i - 0 - 117,6 ⋅ 6 j + 0 - 0 k

= 0 - 1083,6 i - 0 - 705,6 j + ( 0 + 0 ) k

= - 1083,6 i + 705,6 j + 0 k

Passo 7

Agora temos que somar os momentos encontrados para achar o momento resultante.

M 0 R = M 0 B + M 0 C

= - 3556,8 i + 0 j + 0 k + { - 1083,6 i + 705,6 j + 0 k }

= - 4640,4 i + 705,6 j + 0 k

Resposta

Assim o momento resultante expressado como vetor cartesiano é dado por:

M 0 R = - 4640,4 i + 705,6 j + 0 k

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