Enunciado

Determine o momento fletor máximo, M M á x , para a viga carregada e especifique a distância x à direita da extremidade A onde M M á x ocorre.

Passo 1

Devemos perceber primeiro que na parte direita da viga, depois de B, teremos uma força cortante V que é negativa, como mostra a figura:

Sabemos que:

V = d M d x

Então se V é negativo, M é decrescente nessa parte da viga. Logo, o máximo de M deve ocorrer na parte esquerda da viga, e não precisamos nos preocupar com a parte depois de B . Vamos obter M a partir da integração de V ( x ) com os valores de x variando de 0   a 2 m, da seguinte forma:

M x = M 0 + ∫ 0 x V x d x = ∫ 0 x V x d x

Pois M 0 = M 0 = 0 .

Passo 2

Primeiro calculamos a resultante da distribuição de forças na viga e o ponto no qual ela é aplicada. A resultante é a área abaixo da distribuição de forças:

R = 600 × 3 2 = 900   N

A força resultante será aplicada no centroide da área da região triangular. Sabemos que o centroide de um triângulo fica a uma distância de h 3 de sua base, sendo h a altura relativa a essa base. Se a base for a linha vertical com comprimento de 600, a altura tem 3 m e então o centóide fica a 1 m de A . Agora fazendo o momento em torno de A , achamos a força em B :

∑ M A = 0 ⇒ - 900 1 + B 2 = 0 ⇒ 2 B = 900 ⇒ B = 450   N

Então, pelo equilíbrio em y :

∑ F y = 0 ⇒ A + B - 900 = 0 ⇒ A = 900 - 450 ⇒ A = 450   N

Passo 3

Vamos então calcular V . Isolamos uma parte da viga, fazendo um corte entre A e B de tamanho x :

Pela imagem, vemos que agem nessa parte da viga a distribuição de forças, a força em A e o cortante V . A resultante da distribuição de forças é calculada pela área do diagrama de forças até x . Pela semelhança de triângulos na figura:

600 3 = k 3 - x ⇒ k = 200 3 - x = 600 - 200 x

É o valor densidade linear de carga a x metros de A . Então, pela fórmula da área do trapézio:

R x = B + b h 2 = 600 + 600 - 200 x x 2 = 1200 x - 200 x 2 2

⇒ R x = 600 x - 100 x 2

Agora fazendo o equilíbrio em y encontramos V ( x ) para x < 2 :

∑ F y = 0 ⇒ 450 - 600 x - 100 x 2 - V = 0

⇒ 450 - 600 x + 100 x 2 - V = 0

⇒ V x = 100 x 2 - 600 x + 450

Passo 4

Então já temos nossa função V ( x ) para a parte que queremos. Vamos obter M ( x ) integrando V ( x ) . Para 0 < x < 2 :

M x = ∫ 0 x 100 x 2 - 600 x + 450 d x = 100 3 x 3 - 300 x 2 + 450 x

Teremos um máximo de M quando d M d x = 0 , ou seja, quando V = 0 , então:

V x = 100 x 2 - 600 x + 450 = 0

Dividindo tudo por 50:

2 x 2 - 12 x + 9 = 0

Vamos agora resolver essa equação dos egundo grau:

Δ = - 12 2 - 4 × 2 × 9 = 144 - 72 = 72

x = - b ± Δ 2 a = - - 12 ± 72 2 × 2 = 12 ± 72 4

Como queremos um valor menor que 2:

x = 12 - 72 4 = 0,879   m

E o valor de M nesse ponto é:

M M á x = 100 3 ( 0,879 ) 3 - 300 0,879 2 + 450 ( 0,879 )

= 22,61 - 231,79 + 395,55 = 186,4   N ⋅ m

Resposta

M M á x = 186,4   N ⋅ m

x = 0,879   m

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