Determine o momento fletor máximo M m a x para a viga carregada e especifique a distância x à direita da extremidade A onde existe M m a x .

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar o momento fletor máximo M m a x o qual a viga está submetida devido à carga distribuída triangular e a distância x em relação ao ponto A onde ocorre esse momento máximo.

Então bora lá! Para resolver esse problema, vamos começar analisando o diagrama de corpo livre:

Onde a força distribuída triangular que inicia em 600   N / m pode ser substituída pela resultante R que é dada por:

R = 600 * 3 2

R = 900   N

E está atuando a 1 / 3 de A , conforme mostrado.

Passo 2

Show de bola! Vamos começar então determinando as reações de apoio em A e B . Como não há nenhuma força externa horizontal aplicada, já temos de cara que:

A x = 0

Além disso, pela condição de equilíbrio da estrutura, podemos usar o somatório de momentos em torno de A para determinar B y .

∑ M A = 0

B y * 2 - R * 1 = 0

B y = 900 * 1 2

B y = 450   N

E fazendo o equilíbrio de forças na direção y :

∑ F y = 0

A y + B y - R = 0

A y = 900 - 450

A y = 450   N

Passo 3

Tranquilo né? Bom, agora para descobrirmos o momento máximo na viga e o seu ponto de aplicação, precisamos das equações de cortante V x e momento M x da viga. Como no vão A B é onde ocorre a maior concentração de cargas, o momento máximo vai ocorrer nesse vão, logo, vamos nos atentar em fazer as equações para esse intervalo.

Entre os apoios A e B temos uma carga distribuída trapezoidal que inicia em 600   N / m e chega em B com 2 00   N / m . O que é o mesmo que considerar uma carga distribuída constante de 200   N / m somada a uma carga distribuída triangular que inicia com 400   N em A e chega em B igual a 0 . Logo, no apoio B onde x = 2   m , a cortante é dada por:

V 2 = 450 - 200 * 2 - 1 2 400 * 2

V 2 = -   350   N

E para uma posição x qualquer, a equação da cortante é:

V x = 450 - 600 x + k x 2

Onde a constante k pode ser encontrada usando V 2 = - 350   N :

- 350 = 450 - 600 * 2 + k * 2 2

k = - 350 - 450 + 600 * 2 2 2

k = 100   N

∴ V x = 450 - 600 x + 100 x 2

Passo 4

Agora ficou fácil né? Por definição, o momento máximo ocorre quando V = 0 , logo:

V x = 450 - 600 x + 100 x 2 = 0

100 x 2 - 600 x + 450 = 0

x = 600 ± 600 2 - 4 * 100 * 450 2 * 100

x ' = 0,88   m

x ' ' = 5,12   m

Como o ponto onde ocorre o momento máximo deve estar entre 0 e 2   m :

x = 0,88   m

Passo 5

Ainda tem coisa pra fazer?

Calma que tá acabando! Hahaha

Até aqui nos descobrimos o ponto onde ocorre o momento máximo, para determinar o valor do momento a partir desse ponto precisamos da equação de momento da viga no intervalo A B , que pode ser obtida integrando a equação da cortante:

M x = ∫ V x d x

M x = ∫ 450 - 600 x + 100 x 2 d x

M x = 450 x - 600 x 2 2 + 100 x 3 3

Uma vez que o momento máximo ocorre em x = 0,88   m :

M m a x = M 0,88

M m a x = 450 0,88 - 600 0,88 2 2 + 100 0,88 3 3

M m a x = 186,4   N m

É isso, galera. Até que foi tranquilo né? Partiu pra próxima!

Resposta

M m a x = 186,4   N m

x = 0,88   m

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