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Enunciado

Física - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 87

Determine o momento de inércia do elipsoide em relação ao eixo x e expresse o resultado em termos da massa m do elipsoide. O material tem densidade constante ρ .

Passo 1

Fala aí, galerinha do Responde aí. Tudo beleza? Vamos fazer mais uma questão de Estática.

Este problema nos pede para determinarmos o momento de inercia em relação ao eixo x da figura em termos da massa. Sabemos que ele é dado por:

I x = ∫ y 2   d A

Onde y é a distância perpendicular do eixo até o elemento d m . Primeiro, temos que determinar o elemento diferencial:

Em seguida, como o corpo é constituído por um material de densidade ρ , temos que:

d m = ρ   d V

Substituindo o elemento d V pelo volume do elipsoide, temos:

d m = ∫ π y 2   d x

Passo 2

Com isso, vamos calcular o momento de inercia do elemento, ele é dado por:

d I x = y 2 2 d m

Integrando a equação por todo o elipsoide, temos:

I x = ∫ - a a 1 2 ρ π b 4 1 - x 2 a 2 2   d x   I x = 8 15 π ρ a b 4

Opa, encontramos o momento de inercia, porém, o enunciado nos pede para encontramos o momento em termos da massa. Por isso, vamos determinar a massa:

m = ∫ ρ   d V = ∫ - a a ρ π b 2 1 - x 2 a 2   d x   m = 4 3 π ρ a b 2

Por fim, basta substituirmos a massa no momento de inercia. Assim, o nosso resultado vai ser:

I x = 2 5 m b 2

É isso, galera, Bora resolver mais questões pra ficar craque.

Resposta

I x = 2 5 m b 2

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