Enunciado
Física - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 103
Determine o momento de inércia do tronco de cone com uma depressão cônica. O material tem densidade de .
Passo 1
E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!
Precisamos calcular o momento de do tronco de cone com uma depressão cônica.
O problema é que nós não temos nenhuma relação para esta figura. A única relação que temos é para um cone inteiro, que é dado por:
E agora???
Bom, o que temos que fazer é calcular o momento de inércia para um cone completo (que engloba o tronco de cone) e depois subtrair o momento das partes que estão faltando (o topo do cone e a depressão)
Como precisamos das massas deles, temos que começar identificando as dimensões desses cones. Então, vamos as contas!
Passo 2
Vamos começar pelo cone maior. Ele tem raio de base igual a . Já a altura a gente não conhece (pois temos apenas a altura do tronco de cone).
Mas não é nada impossível de conseguirmos esta dimensão. Por relação de triângulo, temos:
Já a parte do topo do cone que está faltando terá raio e altura .
Por fim, a parte da depressão cônica a gente consegue diretamente da figura da questão. Ela possui e .
E assim a gente encontrou as dimensões de cada cone.
Passo 3
Vamos agora calcular a massa de cada um deles. Aqui é jogo fácil. Basta lembrar que a massa é o produto da densidade pelo volume! Portanto, começando pelo cone maior, temos:
Já para o topo do cone que está faltando, temos:
Por fim, a massa da depressão cônica será:
E assim terminamos de determinar a massa dos componentes!
Passo 4
Para finalizarmos a questão, basta calcularmos o momento de inércia do cone completo e subtrair dos pedaços que faltam. Sendo assim, temos:
E assim finalizamos a questão!