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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 56

56. Determine o momento produzido pela força F → em relação ao segmento AB do encanamento. Expresse o resultado como um vetor cartesiano.

Passo 1

Para fornecer o resultado como o enunciado pede precisamos calcular o momento da força F usando o produto vetorial que é dado da seguinte maneira:

M 0 = u a → ⋅ ( r → × F → ) = u a x u a y u a z r x r y r z F x F y F z

Onde:

u a x ,   u a y   e   u a z representam as componentes do vetor unitário definido na direção do eixo de rotação

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir de qualquer ponto O sobre o eixo de rotação até qualquer ponto na linha de aplicação da força.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

Passo 2

O vetor r → mencionado acima pode ser o vetor que sai de B (ponto sobre o eixo de rotação) até C (ponto sobre a linha de aplicação da força).

Para saber as coordenadas desse vetor, podemos fazer:

r → = C - B

Essas são as coordenadas do ponto C e B. Elas valem:

B = ( 3,4 , 0 )

C = 3,4 , 4

Daí:

r → = 3,4 , 4 - 3,4 , 0 = 0,0 , 4

r → = { 0 i + 0 j + 4 k }

Passo 3

O vetor unitário que tem a mesma direção que o eixo de rotação que é o eixo AB, é dado por:

u → = r A B → r A B →

Onde r A B → é o vetor que sai do ponto A até o ponto B. Assim:

r → A = B - A

Como A é a origem:

r A B → = B = 3,4 , 0

r A B → = { 3 i + 4 j + 0 k }

r A B → = 3 2 + 4 2 + 0 2

= 9 + 16

25 = 5

Logo:

u → = { 3 i + 4 j + 0 k } 5

= { 0,6 i + 0,8 j + 0 k }

Passo 4

Agora que já temos tudo que precisamos, vamos calcular o momento em relação ao eixo pedido.

M 0 = u → ⋅ ( r → × F → ) = u x u y u z r x r y r z F x F y F z

= 0,6 0,8 0 0 0 4 - 20 10 15

= 0,6 0 ⋅ 15 - 4 ⋅ 10 - 0,8 0 ⋅ 15 - 4 ⋅ - 20 + 0 0 ⋅ 10 - 0 ⋅ ( - 20 )

= 0,6 0 - 40 - 0,8 0 + 80 + 0 ( 0 + 0 )

= 0,6 - 40 - 0,8 80 + 0 ( 0 )

= - 24 - 64 = - 88   N ⋅ m

Mas isso que encontramos é a intensidade do momento, para achar ele em forma cartesiana, basta multiplicá-lo pelo vetor unitário, já que eles têm a mesma direção e sentido, assim:

M 0 → = M 0 u → = - 88 ( 0,6 i + 0,8 j + 0 k )

= ( - 52,8 i - 70,4 j + 0 k )

Resposta

O momento da força F em relação ao eixo de rotação AB é dado por:

M 0 → = ( - 52,8 i - 70,4 j + 0 k )

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