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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 151

Determine o raio de curvatura da trajetória descrita pela partícula do Problema 11.95 quando t = 0.

Passo 1

Nós temos

v = d r d t = R c o s ⁡ ω n t - ω n t s e n ⁡ ω n t i + c j + R s e n ⁡ ω n t + ω n t c o s ⁡ ω n t k

e

a = d v d t = R - ω n s e n ⁡ ω n t - ω n s e n ⁡ ω n t - ω n 2 t c o s ⁡ ω n t i + R ω n c o s ⁡ ω n t + ω n c o s ⁡ ω n t - ω n 2 t s e n ⁡ ω n t k

ou

a = ω n R - 2 s e n ⁡ ω n t + ω n t c o s ⁡ ω n t i + 2 c o s ⁡ ω n t - ω n t s e n ⁡ ω n t k

Agora

v 2 = R 2 cos ⁡ ω n t - ω n tsen ⁡ ω n t 2 + c 2

+ R 2 s e n ⁡ ω n t + ω n t c o s ⁡ ω n t 2 = R 2 1 + ω n 2 t 2 + c 2

Passo 2

Então

v = R 2 1 + ω n 2 t 2 + c 2 1 / 2

e

d v d t = R 2 ω n 2 t R 2 1 + ω n 2 t 2 + c 2 1 / 2

Agora

a 2 = a t 2 + a n 2 = d v d t 2 + v 2 ρ 2

Em t = 0:

d v d t = 0

Passo 3

a = ω n R 2 k     ou     a = 2 ω n R

v 2 = R 2 + c 2

Então, com

d v d t = 0

nós temos

a = v 2 ρ

ou

2 ω n R = R 2 + c 2 ρ

ρ = R 2 + c 2 2 ω n R

Resposta

ρ = R 2 + c 2 2 ω n R

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