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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 107

Determine a tração máxima desenvolvida no cabo se ele estiver sujeito a uma carga uniforme de 600   N / m .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Queremos determinar a tração máxima desenvolvida no cabo.

Para que a gente possa determinar esta incógnita, precisamos determinar a equação da curva que define o cabo. E para isto, temos que resolver a seguinte integral:

y = 1 F H ∫ ∫ w x d x d x

Sendo w x o carregamento aplicado na corda. Nesta questão, a corda está submetida a um carregamento uniforme dado por w x = w 0 = 600   N / m . Portanto, a nossa equação será:

y = 1 F H ∫ ∫ 600   d x d x

y = 1 F H ∫ 600 x + C 1 d x

y = 1 F H 300 x 2 + C 1 x + C 2

Sendo F H expresso em N .

Passo 2

Agora que obtivemos a equação da curvatura da corda, devemos aplicar as condições de contorno para descobrir as incógnitas C 1 , C 2 e F H .

Para a geometria da questão, temos as seguintes condições de contorno: y 0 = 0 , d y d x x = 0 = tan ⁡ 10 ° = 0,1763 e y 100 = 20 . Aplicando a primeira, temos:

y 0 = 1 F H 300 ⋅ 0 2 + C 1 ⋅ 0 + C 2 = C 2 F H = 0 ⟹ C 2 = 0

Já aplicando a segunda, obtemos:

d y d x x = 0 = 1 F H 600 ⋅ 0 + C 1 = C 1 F H = 0 , 1763 ⟹ C 1 = 0,1763 F H

E por fim, aplicando a terceira condição, temos:

y 100 = 1 F H 300 ⋅ 100 2 + 0,1763 F H ⋅ 10 0 = 20 ⟹ C 2 = 0

3 ⋅ 10 6 + 17,63 F H F H = 20

F H = 1,267 ⋅ 10 6   N = 1,267   M N

Portanto, a equação da corda será:

y x = 2,3678 ⋅ 10 - 4 x 2 + 0,1763 x

Passo 3

Para finalizarmos a questão, basta descobrirmos a tração máxima na corda. Esta tração ocorrerá no ponto de maior inclinação. Isto é, o ponto em que d y / d x for máximo.

Para esta questão, como d y d x = 4,7356 ⋅ 10 - 4 x + 0,1763 , então, a inclinação será máxima na extremidade em B , em x = 100   m . Assim teremos:

θ m á x = arctan ⁡ d y d x x = 100 = arctan ⁡ 0 , 223656 = 12,6 °

Por fim, a tração máxima será:

T m á x = F H cos ⁡ θ m á x = 1,267   M N cos ⁡ 12,6 ° = 1,298   M N

E assim finalizamos a questão!

Resposta

T m á x = 1,298   M N

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Se h = 5m , determine a tração máxima desenvolvida na corrente e seu comprimento, a corrente tem uma massa por unidade de comprimento de 8k g / m .
Se o cabo de 45m de comprimento tem uma massa por unidade de comprimento de 5k g / m , determine a equação da curva catenária do cabo e a tração máxima desenvolvida no cabo.
O tabuleiro da ponte tem um peso por unidade de comprimento de 80k N / m . Ele está apoiado em cada lado por um cabo. Determine a tração em cada cabo nos pilares A e B .
Um cabo tendo um peso por comprimento de 0,1k N / m é suspenso entre apoios A e B . Determine a equação da curva catenária do cabo pelo seu comprimento do cabo.
Se a inclinação do cabo de apoio A é 10 ° , determine a curva de deflexão y = f ( x ) do cabo e a tração máxima desenvolvida no cabo.