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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 32

Determine a variação do raio r da viga em balanço que suporta a carga distribuída uniforme, de modo que ela tenha uma tensão de flexão máxima constante σ m á x em todo o seu comprimento.

Passo 1

Para resolver a questão precisamos aplicar a equação da flexão. Porém, o momento e a geometria mudam com a distância. Então faremos o seguinte procedimento:

  • Encontramos uma equação para o momento fletor M ( x )
  • Encontramos uma equação para o momento de inércia   I ( x )
  • Aplicamos a equação da flexão σ x = M x ⋅ c ( x ) I ( x )
  • Encontramos o valor da tensão em um ponto conhecido, neste caso, o engaste
  • Determinamos a função para o raio

Passo 2

Vamos fazer uma seção na figura e calcular o momento fletor nesta seção:

∑ M = 0 ⇒ - M x - w x ⋅ x 2 = 0

M x = - w x 2 2

Passo 3

Agora vamos determinar expressões que representem as propriedades geométricas:

c x = r x

I x = π ⋅ r x 4 4

Passo 4

Vamos aplicar na fórmula da flexão

σ x = M x c x I x

σ x = w x 2 2 ⋅ r x π ⋅ r x 4 4

σ x = 2 w x 2 π ⋅ r x 3

Passo 5

Sabemos que a tensão é constante em qualquer ponto da viga. Mas qual o valor desta tensão? Bem, o único ponto em que podemos calcular isso é o engaste, já que é o único ponto em que conhecemos todas as propriedades.

No engaste: x = L e r L = r 0

σ x = 2 w L 2 π ⋅ r L 3

σ x = 2 w L 2 π ⋅ r 0 3

Sabemos então que este é o valor da tensão para qualquer valor de x

Passo 6

Vamos igualar agora o valor da tensão com a equação da tensão:

σ x ⇒ 2 w x 2 π ⋅ r x 3 = 2 w L 2 π ⋅ r 0 3

x 2 r x 3 = L 2 r 0 3

Isolando o r ( x )

r x = r 0 ⋅ x 2 L 2 1 / 3

Resposta

r x = r 0 ⋅ x 2 L 2 1 / 3

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