O disco circular uniforme de 30   k g está em repouso na posição A quando um momento constante no sentido anti-horário M = 40   N . m é aplicado para rolar o disco para cima na superfície circular. Se o disco rola sem deslizar, calcule a velocidade v de seu centro O quando a posição mais alta B é atingida.

Passo 1

Analisando a figura, é possível notar que o arco C C ' ^ pode ser expresso por

C C ' ^ = R θ = r σ

De onde tiramos que

σ = R r θ

Por geometria, sabe-se que o ângulo externo é igual a soma dos ângulos internos não adjacentes. Logo,

α = θ + σ

α = θ 1 + R r

Para θ = π 3   r a d , temos

α = 5 π 3   r a d

Passo 2

Sabemos que

U 1 - 2 ' = ∆ T + ∆ V g + ∆ V e

e que

U 1 - 2 ' = M α       →         U 1 - 2 ' = 40 5 π 3 = 209,44   J

Para a variação da energia cinética

∆ T = 1 2 I c ω 2     →         ∆ T = 1 2 3 2 m r   ² v r 2 = 22,5 v ²

Por fim, para a variação da energia potencial, temos

∆ V =   ∆ V g + ∆ V e

Como ∆ V e = 0 ,     ∆ V =   ∆ V g

∆ V =   m g R + r - R + r c o s θ     →       ∆ V = 30 9,81 0,375 = 110,363   J

Retomando a equação que relaciona trabalho e energia, temos

209,44 = 22,5 v 2 + 110,363     →         v = 2,098 m s

Resposta

v = 2,098 m s

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