Enunciado
Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.3 - Ex. 71
O instrumento sísmico está montado sobre uma estrutura que sofre uma vibração vertical com uma frequência de e uma amplitude dupla de . O elemento sensor possui uma massa , e a rigidez da mola é . O movimento da massa em relação à base do instrumento é gravado em um tambor rotativo e mostra uma amplitude dupla de durante a condição de regime permanente. Calcule a constante de amortecimento viscoso .
Passo 1
Um instrumento de base móvel possui uma massa vibrando dentro dele, com mola e amortecedor.
Dados da questão:
- Massa: .
- Rigidez da mola: .
- Coeficiente de amortecimento: . (Desconhecido!)
- Amplitude do movimento da base: .
- Frequência de oscilação da base: .
- Amplitude do movimento da massa em relação à base: .
Queremos descobrir a constante de amortecimento do sistema! Primeiro vamos entender o que está acontecendo, e ver qual fórmula podemos usar.
Passo 2
Escolha uma posição de referência e aí tome um deslocamento qualquer para a massa em relação à base. Além disso, temos um movimento da base também! Vamos supor que os dois são positivos quando indo pra cima.
Se a base subir um comprimento , a massa vai subir esse mais um comprimento dentro do dispositivo! As forças elásticas e do amortecimento vão resistir esse movimento.
Temos uma frequência e amplitude de movimento para base. Vamos supor que . Derivando e substituindo:
Agora podemos comparar com nossas equações usuais para identificar termos e usar fórmulas!
Passo 3
Equação usual:
Comparando, vemos que o análogo é
No regime permanente, a amplitude da resposta é
Substituindo e lembrando que :
Como sabemos o valor de , , e , depois de umas continhas achamos que
E pela definição do fator de amortecimento:
Resposta
Constante de amortecimento: .