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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 131

Um disco homogêneo de massa é conectado em A e B a um eixo com extremidade em garfo de massa desprezível, que é suportado por um rolamento em C. O disco está livre para girar em torno de seu diâmetro horizontal AB e o eixo está livre para girar em torno de um eixo vertical através de C. Inicialmente, o disco encontra-se em um plano vertical θ 0 = 90 ∘ e o eixo tem uma velocidade angular ϕ ˙ 0 = 8 r a d / s . se o disco estiver ligeiramente perturbado, determine para o movimento de garantia (a) o valor mínimo de ϕ ˙ , , (b) o valor máximo de O.

Passo 1

coloque a origem no centro de massa e seja Oxyz um referencial do eixo principal com o eixo y direcionado ao longo do eixo móvel AB. Deixe o eixo Z ficar ao longo do eixo fixo. Os vetores unitários úteis são i, j e k ao longo dos eixos x, y, z e K ao longo do eixo Z.

K = - i s i n ⁡ θ + k c o s ⁡ θ

Velocidade angular

ω = φ ˙ k + θ ˙ j ω = - φ ˙ s i n ⁡ θ i + θ ˙ j + φ ˙ c o s ⁡ θ k

Momento de inércia

I x . = e 1 J y , l z = e 2 I y

Momento angular sobre O

H o = I x ω x i + I y ω y j + I z ω z k = I y - e 1 φ ˙ s i n ⁡ θ i + θ ˙ j ^ + e 2 φ ˙ c o s ⁡ θ k

Passo 2

O momento sobre o eixo Z fixo é zero, portanto, H o ⋅ K = constante.

H O ⋅ K = I y e 1 s i n 2 ⁡ θ + e 2 c o s 2 ⁡ θ φ ˙ = I y C 1

φ ˙ = C 1 e t s i n 2 ⁡ θ + e 2 c o s 2 ⁡ θ C 1 = e 1 s i n 2 ⁡ θ 0 + e 2 c o s 2 ⁡ θ 0 φ ˙ 0

Passo 3

Cinética energia duas vezes

2 T = I x ω x 2 + I y ω y 2 + I z ω z 2 =   c o n s t a n t e   2 T = I y e 1 s i n 2 ⁡ θ + e 2 c o s 2 ⁡ θ φ ˙ 2 + θ ˙ 2

= l y C 1 φ ˙ + θ ˙ 2 = I y C 2

θ ˙ 2 = C 2 - C 1 φ ˙ C 2 = θ ˙ 0 2 + C 1 φ ˙ 0

Dados

e 1 = 1 e 2 = 2

e 1 s i n 2 ⁡ θ + e 2 c o s 2 ⁡ θ = 1 + c o s 2 ⁡ θ

θ 0 = 90 ∘ θ ˙ 0 = 0 φ ˙ 0 = 16 r a d / s

C 1 = 1 + c o s 2 ⁡ 90 ∘ ( 8 ) = 8 r a d / s

φ ˙ = 8 1 + c o s ⁡ θ

Passo 4

(a) φ ˙ min  = 8 1 + c o s ⁡ θ = 4

φ ˙ m i n = 4.00 r a d / s

C 2 = 0 + ( 8 ) ( 8 ) = 64 ( r a d / s ) 2 θ ˙ 2 = C 2 - C 1 φ ˙

(b) θ ˙ 2 m a x = C 2 - C 1 φ ˙ t m i n

= 64 - ( 8 ) ( 4 ) = 32 ( r a d / s ) 2

θ ˙ m a x = 5.66 r a d / s

Resposta

a φ ˙ m i n = 4.00 r a d / s

(b) θ ˙ m a x = 5.66 r a d / s

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