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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 137

Um disco homogêneo de raio de 180 mm é soldado a uma haste AG de comprimento 360 mm e de massa desprezível, que é suportada por uma esfera e encaixe em A. O disco é liberado com uma taxa de spin ψ ˙ 0 = 50 r a d / s , com taxas zero de precessão e nutação, e com haste AG horizontal θ 0 = 90 ∘ . Determine (a) o menor valor de θ no movimento que se segue, (b) as taxas de precessão e rotação à medida que o disco passa por sua posição mais baixa.

Passo 1

O exercício pede que a gente determine a) o menor valor de θ no movimento que se segue, (b) as taxas de precessão e rotação à medida que o disco passa por sua posição mais baixa.

Deixe Z como eixo vertical

Para principais eixos xyz com origem em A, o momento principal de inércia é

I ' = I x = I y = m 1 4 a 2 + ( 2 a ) 2 = 17 4 m a 2

I = I z = 1 2 m a 2

Componentes da velocidade angular

ω x = φ ˙ s i n ⁡ θ ω y = - θ ˙ ω z = ψ ˙ + φ ˙ c o s ⁡ θ

Passo 2

Momento angular sobre A

H A = I x ω x 1 + I y ω y j + I z ω z k = I ' φ ˙ s i n ⁡ θ i - I ' θ ˙ j + I ω z k

Energia cinética

T = 1 2 I x ω x 2 + 1 2 I y ω y 2 + 1 2 I z ω z 2 T = 1 2 I ' φ ˙ 2 s i n 2 ⁡ θ + θ ˙ 2 + 1 2 l ω z 2

Energia potencial

V = - 2 m g a c o s ⁡ θ

Passo 3

Conservação do momento angular sobre eixos fixados z

H A ⋅ K = H A ⋅ ( i s i n ⁡ θ + k c o s ⁡ θ )

= I ' φ ˙ s i n 2 ⁡ θ + I ω z c o s ⁡ θ = 17 4 m a 2 φ ˙ sin 2 ⁡ θ + 1 2 m a 2 ω z cos ⁡ θ = α                               ( 1 )

Em que α   é   u m a   c o n s t a n t e

Conservação de energia

T + V = E ,   e m   q u e     E   é   u m a   c o n s t a n t e .   17 8 m a 2 φ ˙ 2 sin 2 ⁡ θ + θ ˙ 2 + 1 4 m a 2 ω 2 2 - 2 m g a cos ⁡ θ = E                   ( 2 )

Deixe o quadro Axyz estar girando com velocidade angular

Ω = φ ˙ s i n ⁡ θ i - θ ˙ j + φ ˙ c o s ⁡ θ k

Então Σ M A = H ˙ A = H ˙ A A x y z + Ω × H A

m g a s i n ⁡ θ j = I ' d d t ( φ ˙ s i n ⁡ θ ) i - J ' θ ¨ j + I d ω z d t k + Ω × H A

Componente z 0 = 1 d ω z d t + k ⋅ Ω × H A

0 = l d ω z d t + 0 0 1 φ ˙ s i n ⁡ θ - θ ˙ φ ˙ c o s ⁡ θ I φ ˙ s i n ⁡ θ - l ' θ ˙ ω z = I d ω z d t + 0 = I d ω z d t

Integrando I ω 2 = β (3)

Em que β é uma constante

Passo 4

Dados

θ 0 = 90 ∘ φ ˙ 0 = 0 θ ˙ 0 = 0

Da equação (3)

ω z = ψ ˙ 0

Da equação (1)

17 4 m a 2 φ ˙ s i n 2 ⁡ θ + 1 2 m a 2 ω 2 c o s ⁡ θ = 17 4 m a 2 φ ˙ 0 s i n 2 ⁡ 90 ∘ + 1 2 m a 2 ω z c o s ⁡ 90 ∘

φ ˙ = - 2 17 ω 2 c o s ⁡ θ sin 2 ⁡ θ (4)

Equação (2)

17 8 m a 2 φ ˙ 2 s i n 2 ⁡ θ + θ ˙ 2 + 1 4 m ω z 2 - 2 m g a c o s ⁡ θ = 17 8 m a 2 φ ˙ 0 2 s i n 2 ⁡ θ 0 + θ ˙ 0 2 + 1 4 m ω z 2 - 2 g m a c o s ⁡ 90 ∘ 17 8 m a 2 φ ˙ 2 s i n 2 ⁡ θ + θ ˙ 2 = 2 m g a c o s ⁡ θ

Passo 5

(a) em   θ = θ m

θ ˙ = 0

17 8 m a 2 φ ˙ m 2 s i n 2 ⁡ θ m = 2 m g a c o s ⁡ θ m

17 8 m a 2 - 2 ω z c o s ⁡ θ m μ 17 s i n 2 ⁡ θ m 2 s i n 2 ⁡ θ m = 2 m g a c o s ⁡ θ m

1 34 m a 2 ω z 2 c o s 2 ⁡ θ p n sin 2 ⁡ θ n = 2 m g a c o s ⁡ θ m

sin 2 ⁡ θ m cos ⁡ θ m = m a 2 ω 3 2 68 m g a = a ω 2 2 68 g = ( 0.18 ) ( 50 ) 2 ( 68 ) ( 9.81 ) = 0.67458

1 - c o s 2 ⁡ θ m = 0.67458 c o s ⁡ θ m

c o s 2 ⁡ θ m + 0.67458 c o s ⁡ θ m - 1 = 0

c o s ⁡ θ m = 1 2 [ - 0.67458 ± 2.11070 } = 0.71806 , - 1.392

θ m = c o s - 1 ⁡ ( 0.71806 ) = 44.105 ∘

θ m = 44.1 ∘

Passo 6

(b) da eq(4)

φ ˙ = - 2 17 50 c o s ⁡ 44.105 ∘ sin 2 ⁡ 44.105 ∘ = - 8.7202

φ ˙ = - 8.72 r a d / s

ψ ˙ = ω z - φ ˙ m c o s ⁡ θ m = 50 - ( - 8.7202 ) ( 0.71806 )

ψ ˙ = 56.3 r a d / s

Resposta

a   θ m = 44.1 ∘

(b)   ψ ˙ = 56.3 r a d / s

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