O disco semicircular de massa m e raio r é liberado a partir do repouso em θ = 0 e gira livremente no plano vertical em relação ao seu mancal fixo em O . Desenvolva expressões para as componentes n e t da força F sobre o mancal como funções de θ .

Passo 1

Vamos começar escrevendo as expressões para as forças, e então saberemos o que precisamos calcular.

Na direção n temos o seguinte:

∑ F n = m r - ω 2

F n - m g sen ⁡ θ = m r - ω 2

F n = m g sen ⁡ θ + r - ω 2

Onde F n é a componente normal da força F sobre o mancal.

E na direção t :

∑ F t = m r - α

m g cos ⁡ θ - F t = m r - α

F t = m g cos ⁡ θ - r - α

Onde F t é a componente tangencial da força F sobre o mancal.

Então nosso problema é encontrar α e ω em função de θ . Sabendo que a posição do centro de massa é r - = 4 r 3 π .

Passo 2

Vamos começar encontrando α θ , vamos usar a seguinte equação:

∑ M O = I O α

E a única força externa produzindo momento em torno do ponto O é o peso do disco:

∑ M O = m g r - cos ⁡ θ

E o momento de inércia de um disco semicircular em relação ao seu centro é:

I O = 1 2 m r 2

Então:

m g r - cos ⁡ θ = 1 2 m r 2 α

α = 2 g r - r 2 cos ⁡ θ

α = 8 g 3 π r cos ⁡ θ

E com isso já podemos escrever a força F t :

F t = m g cos ⁡ θ - r - α

F t = m g cos ⁡ θ - 4 r 3 π 8 g 3 π r cos ⁡ θ

F t = 1 - 32 9 π 2 m g cos ⁡ θ

Passo 3

E agora precisamos encontrar ω ( θ ) , podemos aproveitar α ( θ ) para isso, basta lembrar da seguinte relação:

α = d ω d t = d ω d θ d θ d t = ω d ω d θ

α   d θ = ω   d ω

E agora vamos substituir α = α ( θ ) e integrar:

∫ 0 θ 8 g 3 π r cos ⁡ θ   d θ = ∫ 0 ω ω   d ω

ω 2 2 = 8 g 3 π r sen ⁡ θ

ω 2 = 16 g 3 π r sen ⁡ θ

E com isso já podemos escrever F n :

F n = m g sen ⁡ θ + r - ω 2

F n = m g sen ⁡ θ + 4 r 3 π 16 g 3 π r sen ⁡ θ

F n = 1 + 64 9 π 2 m g sen ⁡ θ

Resposta

As forças são F n = 1 + 64 9 π 2 m g sen ⁡ θ e F t = 1 - 32 9 π 2 m g cos ⁡ θ .

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