Para o sistema do Prob. 8/3, determine a posição x da massa como uma função do tempo se a amssa é liberada a partir do repouso no instante de tempo t = 0 de uma posição 50   m m à esquerda da posição de equilíbrio. Determine a velocidade máxima e a aceleração máxima da massa durante um ciclo do movimento.

Passo 1

Para resolvermos esse problema, vamos utilizar a equação do movimento de um corpo,

como o movimento é oscilatório, podemos escrever a equação em termos das equações de movimento oscilatório:

x = x 0 c o s ω n t   x 0 ˙ ω n s e n ω n t

(O resultado do problema anterior nos deu o valor da frequência angular ω n = 18 r a d / s )

Passo 2

Quando t = 0 , x = - 50 m m (o sinal será negativo porque o bloco está à esquerda da posição de equilíbrio, e tomamos x = 0 exatamente na posição de equilíbrio), e, portanto, sabemos o valor de x 0 que é a posição no instante inicial:

x 0 = - 50 m m

E a derivada de uma constante será zero, portanto:

x 0 ˙ = 0

Nossa equação então é:

x = - 50 m m c o s 18 r a d / s t

Passo 3

Fazendo a primeira derivada para encontrarmos a velocidade:

x ˙ = - 18 r a d / s - 50 m m s e n 18 r a d / s t

Para que ela seja máxima, o seno deve ser 1 e portanto:

x ˙ m a x = - 18 r a d / s - 50 m m = 2.78 m m / s

E para a aceleração, precisamos derivar a equação da velocidade:

x ¨ = - 18 r a d / s 2 - 50 m m c o s 18 r a d / s t

Para encontrarmos o valor máximo da aceleração, o cosseno deve ser 1, então:

x ¨ m a x = - 18 r a d / s 2 - 50 m m = 16.2 m m / s 2

Resposta

x ˙ m a x = 2.78 m m / s

x ¨ m a x = 16.2 m m / s 2

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