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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 6.4 - Ex. 56

A massa da engrenagem A é de 20   k g e seu raio de giração centroidal é de 150   m m . A massa da engrenagem B é de 10   k g e seu raio de giração centroidal é de 100   m m . Calcule a aceleração angular da engrenagem B quando um torque de 12   N ∙ m é aplicado ao eixo da engrenagem A . Despreze o atrito.

Passo 1

Quais são os momentos que agem sobre a engrenagem em A ? Temos o momento M = 12   N ∙ m favorecendo a rotação em uma direção, e a força de contato F com a outra engrenagem favorecendo a rotação na direção oposta.

∑ M A = 12 - F ( 0,24 )

E podemos relacionar isso à aceleração angular da engrenagem através do momento de inércia:

∑ M A = I A α A

E podemos escrever esse momento de inércia em função do raio de giração.

∑ M A = m k o 2 α A

∑ M A = 20 0,150 2 α A

E então:

12 - F 0,24 = 20 0,150 2 α A

12 - 0,24   F = 0,45   α A

Passo 2

Agora faremos a mesma coisa para a engrenagem B . Nesse caso o único momento agindo sobre a engrenagem é o associado à força de contato F entre as engrenagens.

∑ M B = I B α B

F 0,18 = 10 0,100 2 α B

0,18   F = 0,1   α B

Aí já temos duas equações e três variáveis ( F , α A e α B ), então precisamos de mais uma equação para poder resolver o problema.

Como as duas engrenagens estão em contato as suas acelerações tangenciais têm que ser iguais (é impossível que uma delas acelerece sozinha):

a t A = a t B

r A α A = r B α B

0,240 α A = 0,180 α B

Agora sim, temos um sistema de três variáveis e três equações:

0,240   α A = 0,180   α B 0,18   F = 0,1 α B 12 - 0,24   F = 0,45 α A

Passo 3

Para resolver esse sistema, primeiro vamos multiplicar as duas primeiras equações por 100 :

24   α A = 18   α B 18   F = 10   α B 12 - 0,24   F = 0,45 α A

Agora vamos substituir a segunda na primeira para encontrar o seguinte:

F = 240 18 2 α A

E agora substituímos isso na terceira:

12 - 0,24   240 18 2 α A = 0,45   α A

α A = 12 0,45 + 0,24 240 18 2 = 19,1   r a d / s 2

E colocando esse resultado na primeira equação:

α B = 24 18   19,1 = 25,5   r a d / s 2

Resposta

As acelerações angular são α A = 19,1   r a d / s 2 e α B = 25,5   r a d / s 2 .

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