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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 43

43- Para o dispositivo mostrado, a mola não estaria esticada na posição θ = 0 . Especifique a rigidez k da mola que estabelecerá uma posição de equilíbrio θ no plano vertical. A massa das conexões é desprezível comparada com m .

Passo 1

Temos que traçar as retas de energia potencial gravitacional e elástica em retas que conhecemos do sistema e que estão representadas na figura abaixo:

O próprio eixo da mola é o eixo onde a energia potencial gravitacional é nula e a reta vermelha como dito na questão é a reta onde a energia potencial elástica é nula.

O valor da altura da massa y varia de acordo com a reta de valor 2 b logo:

y = - 2 b sin ⁡ θ

Já que a altura esta abaixo do eixo nulo da energia gravitacional.

Logo a equação da energia gravitacional é igual a:

V g = m g × - 2 b sin ⁡ θ = - 2 m g b sin ⁡ θ

Passo 2

Agora para encontrar a deformação da mola temos que encontrar o valor de x na figura do passo 1.

Para isso precisamos encontrar o valor de r e g . g é fácil de encontrar é o rebatimento de 2 b na horizontal o que é, além de ser o lado do triângulo isósceles:

g = 2 b cos ⁡ θ

Agora para θ = 0 , r = 2 b já que o ângulo de 180 - θ vira 180 e o eixo de apoio de tamanho b se encontra com o eixo de tamanho 2 b . Logo:

r = 2 b

Então:

x = 2 b - 2 b c o s   θ = 2 b   ( 1 - cos ⁡ θ )

Então a energia potencial elástica será:

V e = 1 2 K ( 2 b ( 1 - cos ⁡ θ ) ) 2 = 2 K b 2 ( 1 - cos ⁡ θ ) 2

O que faz com que a energia total do sistema seja:

V = 2 K b 2 ( 1 - cos ⁡ θ ) 2 - 2 m g b sin ⁡ θ

Passo 3

Para encontrar o ponto de equilíbrio basta fazer:

d V d θ = 0

Logo fazendo a regra da cadeia na primeira parcela:

d V d θ = 4 K b 2 ( 1 - cos ⁡ θ ) × sin ⁡ θ - 2 m g b c o s   θ

Igualando a zero:

4 K b 2 ( 1 - cos ⁡ θ ) sin ⁡ θ - 2 m g b c o s   θ = 0

Cortando o número 2 :

2 K b 2 ( 1 - cos ⁡ θ ) sin ⁡ θ = m g b cos ⁡ θ

K = m g b c o s   θ 2 b 2 sin ⁡ θ ( 1 - cos ⁡ θ ) = m g 2 b c o t g   θ 1 - cos ⁡ θ

Resposta

K = m g 2 b c o t g   θ 1 - cos ⁡ θ

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