Enunciado

O semicilindro de 10 N ≈ 1   k g   apoia o bloco que tem um peso específico γ = 13,5 k N m ³ . Determine a altura h do bloco que produzirá equilíbrio indiferente na posição mostrada.

Passo 1

Desenhando o diagrama do corpo livre:

Passo 2

O primeiro passo é calcular a distância do centro de gravidade do hemisfério até a base do bloco:

d = 4 r 3 π d = 4 × 100 3 π d = 42,44   m m

Passo 3

Podemos encontrar a expressão para a energia potencial do sistema:

V = V h e m i s f é r i o + V b l o c o V = 10 100 - 42,44 c o s θ + 13,5 10 6 ⋅ h ⋅ 200 ⋅ 250 100 + h 2 c o s θ V = 10 ( 100 - 42,44 c o s θ + 0,675 h ( 100 + h 2 c o s θ )

Passo 4

Para acharmos a posição de equilíbrio, devemos encontrar a primeira derivada da função potencial:

d V d θ = 10 ( 100 - 42,44 c o s θ + 0,675 h ( 100 + h 2 c o s θ ) d V d θ = 424,4 s e n θ - 0,3375 h 2 s e n θ = 0 s e n θ = 0 θ = 0

Passo 5

Para verificar a estabilidade, devemos calcular a segunda derivada da função potencial:

d 2 V d θ 2 = 424,4 c o s θ - 0,3375 h 2 c o s θ d 2 V d θ 2 θ = 0 = 424,4 × 1 - 0,3375 h 2 × 1 = 0 424,4 - 0,3375 h 2 = 0 h = 35,46   m m

Resposta

h = 35,46   m m

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