Enunciado

Dois eixos maciços de aço ( G = 77   G P a ) são conectados pelas engrenagens mostradas. Determinar o ângulo de torção da extremidade A, quando nesse ponto um torque T de 340   N . m é aplicado.

Passo 1

Calculando inicialmente os torques. Vamos analizar as interações entre as engrenagens B e D.

F = T A B r B = T D E r D → T D E = r D r B T A B

O que queremos é T A B , mas temos do enunciado que ϕ D E = 2,5 ° = 0,0436   r a d

T D E = 95 65 T A B

Passo 2

Vamos fazer aí o passo a passo desse movimento. Primeiramente, girando DE

c = 1 2 d = 30 2 = 15   m m

L = 500   m m

G = 77 × 10 9   P a

Calculando o momento de inércia

J = π 2 c 4 = π 2 0,015 4 = 79,52 × 10 - 9   m 4

O ângulo de rotação em CD por conta desse torque será de

ϕ D E = T D E L G J → T D E 0,5 77 × 10 9 79,52 × 10 - 9 = 0,04 36

T D E = 599,93   N . m

Logo, T D E = 95 65 T A B

T A B = 410,48   N . m

Passo 3

Temos a relação entre os raios e o ângulo de rotação da engrenagens como sendo

r c ϕ c = r B ϕ B

ϕ B = r C r B ϕ C = 95 65 0,04 36 = 0,0 64   r a d

Passo 4

Agora vamos analizar o intervalo AB

c = 1 2 d = 30 2 = 15   m m

L = 200 + 400 + 200 + 100 = 900   m m = 0,9   m

G = 77 × 10 9   P a

Calculando o momento de inércia

J = π 2 c 4 = π 2 0,015 4 = 79,52 × 10 - 9   m 4

O ângulo de rotação em AB por conta desse torque será de

ϕ A B = T A B L G J = 410,48 0,9 77 × 10 9 79,52 × 10 - 9 = 0,0 603   r a d  

Passo 5

Pra concluir vamos ter então que o ângulo de rotação em A será

ϕ A = ϕ B + ϕ A B = 0,0 64   r a d + 0,0 603   r a d

ϕ A = 0,1 24   r a d

ϕ A = 7,12 °

Resposta

a )   T A B = 410,48   N . m

b )   ϕ A = 7,12 °

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